康托尔集

　　数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托尔的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。

　　背景

　　第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初，当时正是数学空前兴旺发达的时期。首先是逻辑的数学化，促使了数理逻辑这门学科诞生。

　　十九世纪七十年代康托尔创立的集合论是现代数学的基础，也是产生危机的直接来源。十九世纪末，戴德金及皮亚诺对算术及实数理论进行公理化，推动了公理化运动。而公理化运动的最大成就则是希尔伯特在1899年对于初等几何的公理化。

　　为了讲清楚第三次数学危机的来龙去脉，我们首先要说明什么是数学危机。一般来讲，危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。

　　数学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷，连续与离散，乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等等。在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。

　　矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。

　　人类最早认识的是自然数。从引进零及负数就经历过斗争:要么引进这些数，要么大量的数的减法就行不通;同样，引进分数使乘法有了逆运算--除法，否则许多实际问题也不能解决。但是接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用有理数来表示?于是发现无理数就导致了第一次数学危机，而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的体系化。

　　方程的解导致了虚数的出现，虚数从一开始就被认为是"不实的"。可是这种不实的数却能解决实数所不能解决的问题，从而为自己争得存在的权利。

　　几何学的发展从欧几里得几何的一统天下发展到各种非欧几何学也是如此。在十九世纪发现了许多用传统方法不能解决的问题，如五次及五次以上代数方程不能通过加、减、乘、除、乘方、开方求出根来;古希腊几何三大问题，即三等分任意角、倍立方体、化圆为方不能通过圆规、直尺作图来解决等等。

　　这些否定的结果表明了传统方法的局限性，也反映了人类认识的深入。这种发现给这些学科带来极大的冲击，几乎完全改变了它们的方向。比如说，代数学从此以后向抽象代数学方面发展，而求解方程的根变成了分析及计算数学的课题。在第三次数学危机中，这种情况也多次出现，尤其是包含整数算术在内的形式系统的不完全性、许多问题的不可判定性都大大提高了人们的认识，也促进了数理逻辑的大发展。

　　这种矛盾、危机引起的发展，改变面貌，甚至引起革命，在数学发展历史上是屡见不鲜的。第二次数学危机是由无穷小量的矛盾引起的，它反映了数学内部的有限与无穷的矛盾。数学中也一直贯穿着计算方法、分析方法在应用与概念上清楚及逻辑上严格的矛盾。在这方面，比较注意实用的数学家盲目应用。而比较注意严密的数学家及哲学家则提出批评。只有这两方面取得协调一致后，矛盾才能解决。后来算符演算及δ函数也重复了这个过程，开始是形式演算、任意应用，直到施瓦尔兹才奠定广义函数论的严整系统。

　　对于第三次数学危机，有人认为只是数学基础的危机，与数学无关。这种看法是片面的。诚然，问题涉及数理逻辑和集合论，但它一开始就牵涉到无穷集合，而现代数学如果脱离无穷集合就可以说寸步难行。因为如果只考虑有限集合或至多是可数的集合，那绝大部分数学将不复存在。而且即便这些有限数学的内容，也有许多问题要涉及无穷的方法，比如解决数论中的许多问题都要用解析方法。由此看来，第三次数学危机是一次深刻的数学危机。

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　　格奥尔格·康托尔(Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845.3.3-1918.1.6)德国数学家，集合论的创始人。生于俄国列宁格勒(今俄罗斯圣彼得堡)。父亲是犹太血统的丹麦商人，母亲出身艺术世家。1856年全家迁居德国的法兰克福。先在一所中学，后在威斯巴登的一所大学预科学校学习。

　　康托尔，1862年入苏黎世大学学工,翌年转入柏林大学攻读数学和神学，受教于库默尔(Kummer，Ernst Eduard，1810.1.29-1893.5.14)、维尔斯特拉斯(Weierstrass，Karl Theodor Wilhelm，1815.10.31-1897.2.19)和克罗内克(Kronecker，Leopold，1823.12.7-1891.12.29)。1866年曾去格丁根学习一学期。1867年在库默尔指导下以解决一般整系数不定方程ax2+by2+cz2=0求解问题的论文获博士学位。毕业后受魏尔斯特拉斯的直接影响，由数论转向严格的分析理论的研究，不久崭露头角。他在哈雷大学任教(1869-1913)的初期证明了复合变量函数三角级数展开的唯一性，继而用有理数列极限定义无理数。1872年成为该校副教授，1879年任教授。由于学术观点上受到的沉重打击，康托尔曾一度患精神分裂症，虽在1887年恢复了健康，继续工作，但晚年一直病魔缠身。1918年1月6日在德国哈雷(Halle)-维滕贝格大学附属精神病院去世。

　　康托尔爱好广泛，极有个性，终身信奉宗教。早期在数学方面的兴趣是数论，1870年开始研究三角级数并由此导致19世纪末、20世纪初最伟大的数学成就--集合论和超穷数理论的建立。除此之外，他还努力探讨在新理论创立过程中所涉及的数理哲学问题.1888-1893年康托尔任柏林数学会第一任会长，1890年领导创立德国数学家联合会并任首届主席。

　　康托尔，1862年入苏黎世大学学工,翌年转入柏林大学攻读数学和神学，受教于库默尔(Kummer，Ernst Eduard，1810.1.29-1893.5.14)、维尔斯特拉斯(Weierstrass，Karl Theodor Wilhelm，1815.10.31-1897.2.19)和克罗内克(Kronecker，Leopold，1823.12.7-1891.12.29)。1866年曾去格丁根学习一学期。1867年在库默尔指导下以解决一般整系数不定方程ax2+by2+cz2=0求解问题的论文获博士学位。毕业后受魏尔斯特拉斯的直接影响，由数论转向严格的分析理论的研究，不久崭露头角。他在哈雷大学任教(1869-1913)的初期证明了复合变量函数三角级数展开的唯一性，继而用有理数列极限定义无理数。1872年成为该校副教授，1879年任教授。由于学术观点上受到的沉重打击，康托尔曾一度患精神分裂症，虽在1887年恢复了健康，继续工作，但晚年一直病魔缠身。1918年1月6日在德国哈雷(Halle)-维滕贝格大学附属精神病院去世。

　　康托尔爱好广泛，极有个性，终身信奉宗教。早期在数学方面的兴趣是数论，1870年开始研究三角级数并由此导致19世纪末、20世纪初最伟大的数学成就--集合论和超穷数理论的建立。除此之外，他还努力探讨在新理论创立过程中所涉及的数理哲学问题.1888-11884年，由于连续统假设长期得不到证明，再加上与克罗内克的尖锐对立，精神上屡遭打击，5月底，他支持不住了，第一次精神崩溃。他的精神沮丧，不能很好地集中研究集合论，从此深深地卷入神学、哲学及文学的争论而不能自拔。不过每当他恢复常态时，他的思想总变得超乎寻常的清晰，继续他的集合论的工作。

　　康托尔的集合论得到公开的承认和热情的称赞应该说首先在瑞士苏黎世召开的第一届国际数学家大会上表现出来。瑞士苏黎世理工大学教授胡尔维茨(Hurwitz，Adolf，1859.3.26-1919.11.18)在他的综合报告中，明确地阐述康托尔集合论对函数论的进展所起的巨大推动作用，这破天荒第一次向国际数学界显示康托尔的集合论不是可有可无的哲学，而是真正对数学发展起作用的理论工具。在分组会上，法国数学家阿达玛(Hadamard Jacques，1865.12.8-1963.10.17)，也报告康托尔对他的工作的重要作用。随着时间的推移，人们逐渐认识到集合论的重要性。希尔伯特(Hilbert David，1862.1.23-1943.2.14)高度赞誉康托尔的集合论"是数学天才最优秀的作品"，"是人类纯粹智力活动的最高成就之一"，"是这个时代所能夸耀的最巨大的工作"。在1900年第二届国际数学家大会上，希尔伯特高度评价了康托尔工作的重要性，并把康托尔的连续统假设列入20世纪初有待解决的23个重要数学问题之首。当康托尔的朴素集合论出现一系列悖论时，克罗内克的后继者布劳威尔(1881.2.27-1966.12.2)等人借此大做文章，希尔伯特用坚定的语言向他的同代人宣布:"没有任何人能将我们从康托尔所创造的伊甸园中驱赶出来"。893年康托尔任柏林数学会第一任会长，1890年领导创立德国数学家联合会并任首届主席。

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　　在数学中，康托尔集，由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入(但由亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯在1875年发现)，是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。康托尔集是个测度为0的集，用简单的解析几何说法就是这函数图像面积为0。

　　通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法--一个无处稠密的完备集的例子。

　　实际上斯梅尔的马蹄映射也会形成康托尔集。

　　康托三分集

　　取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，……，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔点集，记为P。称为康托尔点集的极限图形长度趋于0，线段数目趋于无穷，实际上相当于一个点集。操作n次后

　　边长r=(1/3)^n，

　　边数N(r)=2^n，

　　根据公式D=lnN(r)/ln(1/r) , D=ln2/ln3=0.631。

　　所以康托尔点集分数维是0.631。

　　性质特点

　　康托三分集中有无穷多个点，所有的点处于非均匀分布状态。此点集具有自相似性，其局部与整体是相似的，所以是一个分形系统。

　　康托三分集具有

　　(1)自相似性;

　　(2)精细结构;

　　(3)无穷操作或迭代过程;

　　(4)传统几何学陷入危机。用传统的几何学术语难以描述，它既不满足某些简单条件如点的轨迹，也不是任何简单方程的解集。其局部也同样难于描述。因为每一点附近都有大量被各种不同间隔分开的其它点存在。

　　(5)长度为零;

　　(6)简单与复杂的统一。

　　康托尔集P具有三条性质:

　　1、P是完备集。

　　2、P没有内点。

　　3、P的基数为c。

　　康托尔集是一个基数为c的疏朗完备集。

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　　康托尔是德国著名的数学家，集合论的创造者。集合论的出现，向人们展示了一个由无穷数量关系组成的新奇世界。康托尔凭着探险家的勇气闯入这个新奇世界，发现了许多令优秀数学家也难以置信的事情。康托尔1845年出生，1884年发表奠基性著作《一般集合论基础》，也就在这一年患精神病，以后病情时好时坏，1918年逝世在精神病院。

　　传记不仅要描述事实，也要解释事实。为什么康托尔会患病呢，为什么一直未能康复呢，是生理的偶然现象还是环境导致的必然结果，人们只能给出一些猜测而无法确证的原因。这些分析可以参见胡作玄写的《哲人科学家—康托尔：引起纷争的金苹果》(胡作玄，引起纷争的金苹果—康托尔，湖南教育出版社，1993)([美]贝尔，徐源译，数学精英，商务印书馆，1991)、贝尔写的《数学精英》 和解恩泽主编的《科学蒙难集》(解恩泽主编，科学蒙难集，湖南科学技术出版社，2000)。在解释事实的过程中，传记作者也表达了自己的不同的观点。

　　首先是克罗内克等人的攻击。康托尔的研究成果发表之后，遭致当时一些赫赫有名的数学家的激烈攻击，这些人包括法国数学家彭加勒、德国数学家魏尔和克莱因等，德国数学家克罗内克是这些人中言辞最激烈、攻击时间最长的一个。克罗内克是天生的怀疑者，他的数学基本观点是“上帝创造了整数，所有其余的数都是人造的”，他的数学成就是在对数学分析大师维尔斯特拉斯的攻击中取得的。有人暗示克罗内克对别人的攻击是因为身高原因，“要是克罗内克再高上六七英寸，或许他就不会觉得非要大吵大闹地过分强调反对分析学不可了。”由于集合论的内容同他的主张大相径庭，所以克罗内克简直到了不能容忍的程度，连续不断地攻击康托尔达10年之久。康托尔一直在哈勒大学任教，薪金很微薄，几次想在柏林得到一个薪金较高、声望更大的教授职位，但由于克罗内克的影响未能如愿。康托尔想在另一所著名大学哥廷根大学谋取教授职位，也因为有曾是自己的朋友但后来敌视集合论的数学家施瓦茨的反对也未能成功。尽管在职位上屡遭挫折，康托尔在学术上也不乏知音，这些人包括德国数学家胡尔威茨、维尔斯特拉斯、米塔格·列夫勒、埃米尔特、希尔伯特等，应该说，在康托尔发疯前后他的集合论已经得到了初步的成功。这种解释突出了科学界中的保守者与创新者之间冲突。

　　其次是他的性格弱点。康托尔天性神经过敏，容易激动，带有极强的感情色彩，把别人的批评看得过重，因此对于反对意见难以从学术的角度去应付。“克罗内克或许由于康托尔的悲剧受到了过分严厉的指责;他的攻击只是许多起作用的原因中的一个。没有得到承认，使这个相信他朝着无限的合理理论迈出了第一步—和最后一步—的人产生了怨恨，沮丧使自己患了忧郁症和丧失理性。”任何一种新的思想都可能遭到别人的怀疑和反对，这些怀疑和反对并非都是无理取闹，对澄清新思想那些模糊不清的概念起着重要作用。克罗内尔在学生面前谩骂康托尔是不光彩的行为，但他也有表现起绅士风度和学者的时候，即通过学术文章客观地解决争论。例如，由于康托尔的文章主要在米塔格·列夫勒编的《数学学报》上发表，克罗内克也希望能在此发表一篇短文，来阐述自己对某些数学概念的看法。但康托尔慑于克罗内克的威信，害怕克罗内克的文章会挤占自己的地盘，因此他对米塔格·列夫勒表示，如果发表了克罗内克署名的文章，就撤回自己的文章。虽然最终克罗内克没有发表文章，但康托尔的敏感可见一斑。后来，因为米塔格·列夫勒拒绝了康托尔的一篇带有过多新名词和哲学味道的文章，康托尔和这个最支持他的朋友的关系也疏远了。这种解释突出了个人的性格因素在科学研究过程中的作用。

　　第三是科学本身的难题。性格的弱点导致了康托尔在科学论战中的失败，“克罗内克在科学论战上是一个最有能力的战士;康托尔却是一个最无能的战士。”，但是“克罗内克对康托尔的强烈敌意，并不完全是个人的，至少部分是出于科学，而且是不存偏见的。” 康托尔强调实在的无穷理论，克罗内克承认自然数及其通过有限步骤建构起来的东西，反对实在无穷和非构造性的证明。这是数学的基础性问题，历来存在着较大的分歧，不同的数学家属于不同的阵营。随着集合论在处理实数理论逻辑基础问题的成功，虽然外在的敌对势力在减弱，但康托尔一直为集合论中产生的两大问题所困惑，一是集合论内在的矛盾，二是集合论的连续统假设和良序性定理。康托尔既没有能力解决，也无法去摆脱这些问题。例如，尽管康托尔多次声称或者承诺给出连续统假设成立的精确证明，但从未取得成功，这使得他的集合论基础不牢靠，随时有被摧毁的危险，因此他一直为此烦恼不堪。当有数学家宣称连续统假设不成立时，他就气得脸色苍白，浑身发抖。这种解释意味着科学观念的形成是渐进的，开始时冲突的存在是必然的。

　　最后思维方法的缺陷。康托尔对于来自各方面的反对意见，由于找不到解决学术问题和职位问题的出路，只好求助于神学观点和柏拉图主义信仰。康托尔甚至向大学当局申请把自己的数学教授之为改为哲学教授职位，企图在神学和哲学中为集合论争得一席之地。他认为他的集合论来自于上帝的启示，相信上帝既能解决连续统假设问题，还能所有实数集合的基数的客观性和具体性。他把集合论看作是“形而上学的理论”，相信无穷集合“既具体又抽象地”实际存在着。当然，康托尔用这样的思维方法去说服那些反对势力是根本不可能的，反而暴露了集合论发展中的某些薄弱环节，给了反对者更多进攻的入口。当康托尔依托于宗教与哲学的内心世界也受到了冲击和震撼时，要保持精神正常就更加困难了。这种解释给出了个人的哲学观点和内心世界对科学研究的影响。

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