第一次数学危机

　　无理数的发现，引起了第一次数学危机。诱发的一个间接因素是之后“芝诺悖论”的出现，它更增加了数学家们的担忧：数学作为一门精确的科学是否还有可能?宇宙的和谐性是否还存在?第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示。反之，数却可以由几何量表示出来。

　　整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。

　　有理数有一种简单的几何解释。在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的定端点和右端点分别表示数0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点。

　　古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。特别是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。于是就必须发明新的数对应这样的点，并且因为这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。无理数的发现，是毕氏学派的最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程碑。

　　无理数的发现，引起了第一次数学危机。首先，对于全部依靠整数的毕氏哲学，这是一次致命的打击。其次，无理数看来与常识似乎相矛盾。在几何上的对应情况同样也是令人惊讶的，因为与直观相反，存在不可通约的线段，即没有公共的量度单位的线段。由于毕氏学派关于比例定义假定了任何两个同类量是可通约的，所以毕氏学派比例理论中的所有命题都局限在可通约的量上，这样，他们的关于相似形的一般理论也失效了。

　　“逻辑上的矛盾”是如此之大，以致于有一段时间，他们费了很大的精力将此事保密，不准外传。但是人们很快发现不可通约性并不是罕见的现象。泰奥多勒斯指出，面积等于3、5、6、……17的正方形的边与单位正方形的边也不可通约，并对每一种情况都单独予以了证明。随着时间的推移，无理数的存在逐渐成为人所共知的事实。

　　诱发第一次数学危机的一个间接因素是之后“芝诺悖论”的出现，它更增加了数学家们的担忧：数学作为一门精确的科学是否还有可能?宇宙的和谐性是否还存在?

　　在大约公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第5卷中，并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微炒之处。

　　第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示。反之，数却可以由几何量表示出来。整数的尊祟地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击。于是，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。同时也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系。这是数学思想上的一次革命，是第一次数学危机的自然产物。

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　　第一次数学危机产生的原因：

    诱发第一次数学危机的一个间接因素是之后“芝诺悖论”的出现，它更增加了数学家们的担忧：数学作为一门精确的科学是否还有可能?宇宙的和谐性是否还存在?

　　在大约公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第5卷中，并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微炒之处。第一次数学危机产生的原因：

　　毕达哥拉斯学派在数学上的一项重大发现是证明了毕达哥拉斯定理即我们所说的勾股定理。就是指直角三角形三边有如下关系的一个命题，即：

　　(1)和分别代表直角三角形的两条直角边， 表示斜边。这个学派还认为满足(1)式的数有无穷多个，并提供了下述三元数组，即若是奇数，并且,则有:

　　(2)这三元数组只是使(1)式成立的充分条件，而不是必要条件。当毕达哥拉斯学派进一步致力于等式(1)和等式(2)的研究时，米太旁登的希帕苏斯，发现了在等腰直角三角形中，(1)式中出现了下述结果：

　　(3)如果直角三角形的两条直角边都等于1 时，其斜边的长就恰好等于。而 找不到可以公度的几何实体，这在当时的认识水平下，无疑是一个矛盾。此外，是否是个数?对于毕达哥拉斯学派来说，这确实是一个可怕的问题。因为如果承认它是数，就要与“数即万物”中所说的整数发生不可调和的矛盾。相传当时毕达哥拉斯学派的人正在海上，就因这一发现把希帕苏斯投到海里，因为他在宇宙中搞出这样一个东西否定了毕达哥拉斯学派的信条———宇宙中的一切现象都归结为正整数或正整数之比。等式(3)所引出的对于毕达哥拉斯学派是一个致命的打击。“ 数即万物”的世界观被彻底地动摇了。由此引发了数学的第一次危机!

　　第一次数学危机的解决：

　　数学的第一次危机的解决大约在公元前370年，才华横溢的希腊数学家毕达哥拉斯的学生阿契塔和欧多克索斯以及柏拉图给出两个相等的定义从而消除了这次危机。他们给出的定义与所涉及的量是否有公度无关，其实这也是自然的，因为两个线段的比本来与第三个线段无关。

　　毕达哥拉斯学派首先给出了以单位长为边的正方形的对角线的长度不能用整数之比来表示的证明方法，证明过程如下：

　　假设：是有理数，设(p,q均为自然数，且(p,q)=1)

　　所以，两边平方得： (1)

　　所以必为2的倍数，故q必为2的倍数。

　　因为 (p,q)=1，得p为奇数。

　　记，

　　把两式代入(1)得：

　　整理得：显然左边为奇数右边为偶数，引出矛盾，故为无理数。

　　还有很多方法可以证明为无理数。是无理数的种种证明，使我们对无理数有了进一步的认识，对数学中的美、对各种丰富的数学思想方法会有更深刻的感受。

　　数学的第一次危机的实质主要在于数学家的思维囿于错误的哲学思想，即主要在于数学家的思维被错误哲学思想支配了。本来就是一个数，但它的发现结果反而导致了数学的危机，并成了“ 数即万物”，而“数”又只能是整数或整数的比这种错误哲学观点的牺牲品。

　　第一次数学危机的产物：古典逻辑与欧氏几何学

　　亚里士多德的方法论对于数学方法的影响是巨大的，他指出了正确的定义原理。亚里士多德继承自己老师柏拉图的观念，把定义与存在区分，由某些属性来定义的东西可能未必存在(如正九面体)。另外，定义必须用已存在的定义过的东西来定义，所以必定有些最原始的定义，如点、直线等。而证明存在的方法需要规定和限制。

　　亚里士多德还指出公理的必要性，因为这是演绎推理的出发点。他区别了公理和公设，认为公理是一切科学所公有的真理，而公设则只是某一门学科特有的最基本的原理。他把逻辑规律(矛盾律、排中律等)也列为公理。

　　亚里士多德对逻辑推理过程进行深入研究，得出三段论法，并把它表达成一个公理系统，这是最早的公理系统。他关于逻辑的研究不仅使逻辑形成一个独立学科，而且对数学证明的发展也有良好的影响。

　　亚里士多德对于离散与连续的矛盾有一定阐述。对于潜在的无穷(大)和实在的无穷(大)加以区别。他认为正整数是潜在无穷的，因为任何整数加上1以后总能得到一个新的数。但是他认为所谓“无穷集合”是不存在的。他认为空间是潜在无穷的，时间在延长上是潜在无穷的，在细分上也是潜在无穷的。

　　欧几里得的《几何原本》对数学发展的作用无须在此多谈。不过应该指出，欧几里得的贡献在于他有史以来第一次总结了以往希腊人的数学知识，构成一个标准化的演绎体系。这对数学乃至哲学、自然科学的影响一直延续到十九世纪。牛顿的《自然哲学的数学原理》和斯宾诺沙的《伦理学》等都采用了欧几里得《几何原本》的体例。

　　欧几里得的平面几何学为《几何原本》的最初四篇与第六篇。其中有七个原始定义，五个公理和五个公设。他规定了存在的证明依赖于构造。

　　《几何原本》在西方世界成为仅次于《圣经》而流传最广的书籍。它一直是几何学的标准著作。但是它还存在许多缺点并不断受到批评，比如对于点、线、面的定义是不严格的：“点是没有部分的对象”，“线是没有宽度的长度(线指曲线)”，“面是只有长度和宽度的对象”。显然，这些定义是不能起逻辑推理的作用。特别是直线、平面的定义更是从直观来解释的。

　　另外，他的公理五是“整体大于部分”，没有涉及无穷量的问题。在他的证明中，原来的公理也不够用，须加上新的公理。特别是平行公设是否可由其他公理、公设推出更是人所瞩目的问题。尽管如此，近代数学的体系特点在其中已经基本上形成了。

　　第一次数学危机的影响：

　　第一次数学危机的影响是巨大的。

　　首先，它推动了数学及其相关学科的发展。例如，欧几里得几何就是在第一次数学危机中产生的。除此而外，数理天文学的发展也有赖于第一次数学危机。由于宇宙是几何的，宇宙的规律是几何规律，因此研究宇宙就离不开几何图形以及几何理论。

　　其次，第一次数学危机使古希腊数学基础发生了根本性的变化。我们知道，在第一次数学危机之前，古希腊的数学是以数为基础的。第一次数学危机之后，古希腊的数学基础则转向几何。以几何为基础，使数学的公理化成为可能。而以数为基础，在古代是不可能建立数学的公理系统的。这只要对照一下事实就清楚了。在古代，有不少国家的数学是以数为基础的，在这些国家从未建立起数学的公理系统。即使在西方，数的公理系统的建立也是很晚的事情。

　　最后，数学公理系统的建立，还对整个科学的发展起了巨大的推动作用。我们知道，近代科学诞生于西方，其原因是多方面的。譬如，生产的发展、实验之风的流行、文艺复兴运动或宗教改革运动带来的思想解放，等等。但我们若追根溯源就会发现，近代科学的源头是古希腊文明。古希腊文明包括很多因素，但与近代科学最直接相关的是它的科学精神和科学方法。古希腊的数学公理系统，是它的科学精神和科学方法的集中体现。近代西方学者正是通过学习古希腊的数学公理系统，才领悟并把握古希腊的科学精神和科学方法的。借助这种科学精神和科学方法，他们创立了近代科学。不仅如此，古希腊的数学公理系统还是近代科学的模型或种子。有了这粒种子，近代科学才得以诞生。

　　就这样，由于古希腊数学的哲学背景，使其有可能建立世界上第一个数学公理系统。而这个系统是近代科学的种子。这粒种子在近代西方适宜的土壤条件下发芽、生长，最后成为一棵科学的参天大树。从这个意义上来看，我们可以说第一次数学危机对近代科学乃至整个科学的发展起了巨大的促进作用。

　　概而言之，第一次数学危机，不仅仅是数学领域的一个事件，也不仅仅是古希腊科学中的一个事件，而是整个科学发展进程中的一个重要事件，也是整个人类文明演变历史中的一个重要事件。

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　　边长为1的正方形的对角线长为√2，但是，2000年前，人们苦苦思索却不得其解，这个问题的难点在哪儿呢?一方面我们认为√2是一个数字，而古希腊人却认为只有1、2、3、4......这些用来计数的整数才是数字，数最崇高、最神秘，他们所讲的数是指整数。“数即万物”，也就是说宇宙间各种关系都可以用整数或整数之比来表达。

　　公元前5世纪，毕达哥拉斯的一位门徒发现了这个令人震惊的现象：等腰三角形的三条边长不可能都是整数。现代人都知道“2的平方根是无理数”，也就是说这个数不是任何两个整数的比，但是，当时的那些学者不知道。那么他们能有什么办法呢?他们的数量概念是建立在整数的基础上的，因此，在他们看来。直角三角形斜边的长度根本不是一个数字。

　　当时这个发现引起了轩然大波，要知道，毕达哥拉斯的这些门徒非常怪异，他们的人生哲学一片混沌，在我们现代人看来，就是数学、宗教与精神病构成的大杂烩。在他们眼中，奇数是吉利的，而偶数则是邪恶的。他们认为在太阳的另外一边还有一个与地球一模一样的星球，即“反地球”。

　　某些记载表明，他们认为吃蚕豆是不道德的，因为人死之后，灵魂会寄存在蚕豆中，据说，毕达哥拉斯本身可以与牲畜交谈(他告诉牲畜不要吃蚕豆)，也是为数不多的穿裤子的古希腊人之一。

　　毕达哥拉斯门徒的数学研究与他们的思想有不可分割的联系。发现2的平方根不是有理数的那个家伙名叫“希帕索斯”，从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的著名理论，传说(当时毕达哥拉斯派的人正在海上)他在证明了这个令人厌恶的定理之后，得到的“奖励”是被同窗扔进大海淹死了(有的说法是沉湖了)。

　　可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了!这应该是多么违反常识，多么荒谬的事!它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，引起了数学思想的大革命。科学史上把这件事称为“第一次数学危机”。

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　　勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

　　勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。

　　在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

　　在这个定理的证明中，我们需要如下四个辅助定理：

　　如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。(SAS)

　　三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。

　　任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。

　　任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积(据辅助定理3)。

　　欧几里得证法

　　证明的思路为：从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，把上方的两个正方形，通过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。

　　设△ABC为一直角三角形，其直角为∠CAB。

　　其边为BC、AB和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

　　画出过点A之BD、CE的平行线，分别垂直BC和DE于K、L。

　　分别连接CF、AD，形成△BCF、△BDA。

　　∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共线，同理可证B、A和H共线。

　　∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。

　　因为AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。

　　因为A与K和L在同一直线上，所以四边形BDLK=2△ABD。

　　因为C、A和G在同一直线上，所以正方形BAGF=2△FBC。

　　因此四边形BDLK=BAGF=AB2。

　　同理可证，四边形CKLE=ACIH=AC2。

　　把这两个结果相加，AB2+AC2=BD×BK+KL×KC

　　由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

　　由于CBDE是个正方形，因此AB2+AC2=BC2，即a2+b2=c2。

　　此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的。

　　由于这个定理的证明依赖于平行公理，而且从这个定理可以推出平行公理，很多人质疑平行公理是这个定理的必要条件，一直到十九世纪尝试否定第五公理的非欧几何出现。

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