罗素悖论

　　伯特兰·罗素(Bertrand Russell，1872-1970)，二十世纪英国哲学家、数理逻辑学家、历史学家，无神论者，也是上世纪西方最著名、影响最大的学者和和平主义社会活动家之一。

　　罗素也被认为是与弗雷格、维特根斯坦和怀特海一同创建了分析哲学。他与怀特海合著的《数学原理》对逻辑学、数学、集合论、语言学和分析哲学有着巨大影响。1950年，罗素获得诺贝尔文学奖，以表彰其"多样且重要的作品，持续不断的追求人道主义理想和思想自由"。他的代表作品有《幸福之路》、《西方哲学史》、《数学原理》、《物的分析》等。

　　1866年，费尔巴哈发表了最后一本著作《上帝、自由和不朽》。

　　1870年，他加入了德国社会民主党。

　　1872年，费尔巴哈在纽伦堡去世，享年68岁。童年时期1872年5月18日，罗素生于英国辉格党贵族世家。其祖父约翰·罗素勋爵在维多利亚时代两度出任首相，并获封伯爵爵位。其父安伯力·罗素是一位激进的自由主义者，因为鼓吹节育而失去国会的议席。与著名的自由主义哲学家约翰·穆勒是好友，穆勒也是伯特兰·罗素的教父。

　　罗素4岁时失去双亲，由祖母抚养。他的祖母在道德方面要求极为严格，精神上无所畏惧，敢于蔑视习俗，曾将"不可随众行恶"(出自圣经旧约·出埃及记23:2)题赠给罗素，这句话成为罗素一生的座右铭。

　　少年时期

　　罗素的童年是孤独的。祖母没有让他上一般贵族子弟上的公学，而是让他在家接受保姆和家庭教师的教育。罗素在青少年时期先后对数学，历史和文学感兴趣。

　　11岁时他的哥哥教给他欧氏几何学，从此数学成为他一生的爱好。他的叔叔零碎地给他讲过一些科学知识。他很快发现科学和宗教是有矛盾的，约在17岁时经思考放弃基督教信仰。他在祖父的书房里阅读了大量历史和文学著作，这对他今后的著述有很大影响。

　　青年时期

　　1890年，罗素考入剑桥大学三一学院，学习数学，哲学和经济学。他的数学老师怀海德非常赏识他的才能，介绍他与时任剑桥大学哲学讲师麦克塔戈和后来成为大哲学家的穆尔相识。

　　1893年罗素获得数学学士学位，而后在第四年转学哲学，并获得伦理科学学士学位。他对选择以哲学还是经济学为职业犹豫不决但最终还是选择了前者，撰写了一篇论述非欧氏几何学研究员资格论文，这篇成功的论文使他在三一学院获得为期六年的的研究员资格。至少在1930年代早期之前，他努力跟踪新物理学的发展。

　　1894年，罗素不顾家人反对，与比他年长五岁的美国姑娘阿露丝·波尔萨斯·史密斯结婚。婚后第三年，他和妻子一道去柏林，在那里研究经济学和政治学，仔细阅读马克思的《资本论》，与德国工人运动领袖倍倍尔和李卜克内西等来往，还参加工人的集会。罗素这些活动的成果，表现在1896年出版的《德国的社会民主》这本著作中。第二年，他又出版了《论几何学的基础》，这是在他研究员资格论文的基础上整理而成的。

　　1900年7月，罗素在巴黎国际哲学会议上遇到了意大利逻辑学家皮亚诺，在皮亚诺的数学逻辑系统中找到他多年来所寻求的"用于逻辑分析的工具"，从而使他在实现把数学还原为逻辑的技术可能性上打开了眼界。罗素对皮亚诺的技术进行改进，而后转到分析数学基本概念工作上。在几个月里，他处于智力上的巅峰状态，灵感有如泉涌，每天都有新的发现和新的收获。罗素于该年底完成《数学的原理》(The Principles of Mathematics)的初稿，经过仔细修改于1903年出版，这部著作至今依然是数学基础研究发展史上的一个里程碑。 在这之后，罗素和怀特海合作撰写《数学原理》(Principia Mathematica)。罗素主要负责哲学方面内容，怀特海主要负责数学方面内容，他们相互交换草稿，共同订正。其工作的巨大成果分为三大卷分别于1910、1912和1913年出版。这部著作是20世纪科学的重大成果，被誉为是"人类心灵的最高成就之一"，为罗素赢得了学术上的崇高地位和荣誉。

　　在此期间，罗素并没有忽视哲学的其他方面。他于1905年在《心灵》杂志上发表了《论指谓》这一名文，该文确实出自他对逻辑学的研究并奠定了他著名的摹状词理论基础。他于1911年发表的《亲知的知识和摹状的知识》首次阐明了这两种知识间的重要区别。1912年，他在"家庭大学丛书"中出版了《哲学问题》一书，他对这部篇幅不大的著作感到满意，因为它包含了他的许多基本哲学观点。

　　1914年3月，罗素赴美国，在哈佛大学开课，为诺威尔讲座作系列讲演。他的讲演受到了热烈欢迎，讲演稿以《我们关于外间世界的知识》为题于1914年8月出版。该书所采取的是彻底的经验主义立场，它把罗素置于约翰·洛克、伯克莱、大卫·休谟和约翰·穆勒的继承者的行列。

　　随着一战的爆发，罗素对哲学的兴趣被他对欧洲文明面临的巨大威胁之恐惧所压倒，而作为反战人士投身到写作、演说和组织活动中去。

　　1915年初，他写了一本反战的小册子《战争恐惧之源》，颇有影响。

　　1916年，他出版了一本重要的政治著作《社会重建原则》，该书对婚姻、教育、教会等重大问题提出了与流行看法相左的观点，引起了英国各界人士的广泛关注。自1914年英国参战到1917年底，他还一直为反战活动而奔波。他组织了"拒服兵役委员会"，并因一张传单而被法院判为有罪，并因此被三一学院解职。

　　1918年，他因撰写一篇反战文章而被判刑入狱，他在狱中完成《数学哲学导论》，并开始撰写《心的分析》。

　　1916年后，罗素只有相对短期的大学职业，主要依赖写作谋生。这是他以后著述多产的部分原因。

　　中年时期

　　1920年5月，罗素以非正式成员身份随工党代表团访问苏维埃共和国，考察布尔什维克政府的工作。他对苏俄政府的统治感到失望，甚至于恐惧。他的看法在《布尔什维克主义的理论和实践》一书得到阐述。同年8月，罗素应邀到中国讲学。10月在南京大学(时称国立东南大学[1] )发表《关于哲学》的讲演，倡导以逻辑推理与科学方法求知[2] 。他对古老悠久的中国文化极为敬佩，对中国人的教养和幽默感十分欣赏。在中国时罗素患上严重疟疾，以致日本人谣传他已病故 。后来他的这些演讲以《物的分析》等为题发表出来 。

　　1921年罗素回到英国，与多拉·布莱克结婚。生有一男一女。父亲的角色使他对教育发生了兴趣，和妻子一道创立了一所实验学校。在罗素看来，这所学校并不成功，而且运转费用昂贵，使他有必要去美国讲学，筹集钱款。

　　1932年，他与多拉离婚，不再参与学校事务，多拉则自己独自经营，直到1943年。

　　从1920年代到1930年代，罗素撰写了大量有关俄国、中国、相对论、历史、教育、性道德、国际关系、宗教和未来社会的著作，其中较重要的有《心的分析》(1921)、《论教育，尤其是幼儿的教育》(1926)、《物的分析》(1927)、《哲学大纲》(1927)、《怀疑论文集》(1928)、《道德与婚姻》(1929)、《教育与社会秩序》(1932》、《自由和组织》(1934)、《宗教和科学》(1935)、《权力:一个新的社会分析》(1938)。

　　尽管这些活动的许多部分是为了挣钱维持生计，但罗素仍然是各种政治活动孜孜不倦的支持者。

　　1930年代中期，由于厌倦这种生活和需要支撑两个家庭(他于1936年再次结婚，次年得子)，他希望重归大学生活。这并不容易，因为大学职位稀缺，而罗素又是一位有争议的人物。

　　1938年，他在牛津大学演讲，而后又在芝加哥大学和洛杉矶州大学获得访问职位，最后纽约市立学院给他提供了一个永久职位。此时，二战爆发，而他被困在了美国。

　　由于罗素对堕胎、离婚和同性恋问题看法"不够正统"，这个聘任引起了纽约天主教社团的反对，在一场著名的诉讼中被推翻。幸好，哈佛大学仍然坚持原来的邀请，让罗素去作詹姆斯讲座的演讲，为期一年，演讲稿于1940年以《意义和真理的探究》为书名出版。

　　由于保守势力猖獗，罗素的其它讲学和旅行计划纷纷告吹，各家报纸也不敢向他约稿，这使罗素差不多完全失去维持生计的手段，处于孤立无援的境地。这时，费城的百万富翁巴恩斯博士把罗素从困境中解救出来，邀请罗素在费城的巴恩斯艺术基金会讲授西方哲学史(为期5年)。尽管巴恩斯于1942年解雇了罗素，但他永远解决了罗素的财务问题，因为罗素得到了一笔数目可观的违约金，而他的演讲则成为使他获得巨大成功的《西方哲学史》(1945)的基础。这部作品是他后期国际声誉的主要来源之一，而其版税则是收入的主要来源。

　　老年时期

　　1944年，罗素回到英国，并接受了三一学院的聘请，并在那里完成了最后一部重要的哲学著作《人类的知识》(1948)。他的返回不仅标志着他与三一学院关系的改善，而且标志着他与英国行政机关关系的改善。他对一般的共产主义尤其是苏式共产主义的持续谴责很适合于冷战时期，因此罗素享受了一段不寻常的声誉。(虽然他同时也批评美国人的核弹和审查制度)。

　　1949他被选为英国科学院荣誉院士 ，1950年英王乔治六世向他颁发"功绩勋章"，这是英国的最高荣誉。

　　1950年，罗素应邀去澳大利亚作巡回讲演，他除了在各地讲演，还在电视台发表演说，到大学开设课程，并给报纸撰稿。他的讲演稿后来编成《变化中的世界的新希望》一书。接着，他应邀到美国讲授哲学。在去普林斯顿大学作讲演的途中，传来诺贝尔奖金委员会向他颁发文学奖的消息(获奖作品为《婚姻与道德》)，发奖的原因是罗素的"哲学作品对人类道德文化做出了贡献"。罗素飞抵瑞典受奖，发表获奖演说《政治上的重要愿望》，他借这个重要讲坛呼吁世界和平。约在同期，与第四任妻子结婚。

　　斯大林逝世后，罗素对苏联政府的态度趋于缓和，而核战争的威胁开始支配他的思想。他晚年最为关心的，就是在这个拥有核武器的世界中人类的前途。在1950年代，他广泛撰写有关战争危险的文字，并越来越感到需要行动。他于1955年争取到爱因斯坦的支持(爱因斯坦在同意信寄达前不久逝世)，发表了著名的《罗素--爱因斯坦宣言》(或称《爱因斯坦--罗素宣言》)。他还向各国著名科学家征集签名，召开了一次世界性会议，商讨采取什么实际步骤来应对由原子武器出现面临的危机。由于签名的著名科学家很多是诺贝尔奖获得者，该宣言造成了很大影响。其后，该会议逐步演变为著名的《维也纳宣言》。

　　罗素于1958年为促进核裁军活动，而后创立非暴力反抗运动百人委员会。

　　1961年，他因煽动非暴力反抗运动再次入狱。对罗素来说，1960年代是政治上忙乱的年代，他对许多事业给予支持，反对越南战争，并与让·保罗·萨特一并成立了罗素-萨特特别法庭。

　　1964年，他建立了"罗素和平基金会"，为筹集基金而拍卖了他的部分文献档案。他于1967年出版了他的最后一部著作《在越南的战争罪行》。他的最后政治声明是有关中东的，谴责以色列袭击埃及和巴勒斯坦难民营。这个声明写于他逝世(1970年2月2日)的前两天，这说明罗素在生命的最后时刻还在为世界和平事业和人类的前途操劳。

免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。

　　如果说，世界上有哪位科学家可以称得上是博学广识，能够在不同领域都获得极高成就，那我们今天讲的这个人一定符合标准。

　　1872年的今天，在英国蒙默斯郡的贵族家庭里，诞生了一位未来对英国乃至西方各界都产生了重大影响的男孩。大概伟人都不得不经历生活带给他们的磨难，在男孩出生后的2到4年里，他的父母亲相继因病去世，而他则被送到祖父母家里，在那里开始了他的童年以及启蒙教育。

　　他就是英国著名哲学家、逻辑学家、数学家、历史学家、作家、社会评论家、政治活动家、诺贝尔文学奖的获得者：伯特兰·罗素。他发现的“罗素悖论”引发了20世纪初的数学基础危机，他在数学领域的巨著《数学原理》成为了里程碑式的著作，他的《西方哲学史》让他获得了1950年的诺贝尔文学奖。不仅如此，他还是活跃的和平主义社会活动者、女权主义者。

　　他的童年是和祖父母以及哥哥、姐姐、叔叔们一起度过的，这一段经历对他未来的成就有着很深的影响。他的祖父约翰·罗素勋爵在维多利亚时代两度出任首相，并获封伯爵爵位。而他的祖母则是一位具有清教徒式道德观的“伯爵夫人”，从道德上对罗素有着很高的要求，并对罗素人生观的塑造有很深的影响。

　　“不可随众行恶”这句祖母强调给罗素的话，也在罗素之后的生活中扮演者“引导者”的作用，成为他不惧成为“少数派”的动力之一。

　　罗素从小对数学逻辑等就很感兴趣，加之自己叔叔和姑姑从小就在科学和政治领域对他的教导，罗素在这几个领域表现卓越。除此之外，他最为人称道的是他的怀疑主义。

　　罗素从11岁开始从哥哥那里学习欧几里得几何学，一方面对数学如痴如醉，另一方面又不愿意接受公理。在他眼里，除非他哥哥告诉他接受这些公理的理由，否则他不愿意接受这些已经成为定式的公理。于是哥哥告诉罗素：“如果你不承认这些公理，我们就讲不下去了。”罗素这才勉强承认这些公理。也是从那时起，罗素一直对数学的前提感到怀疑。不仅是在数学领域，包括在哲学领域，他也敢于批判现实，同时对通往未来的道路产生怀疑。在他看来：“一个观点，如果没有任何证据证明是对的，就绝不该相信。”

　　罗素对哲学的研究并不是他的初衷，1890年他考入剑桥大学三一学院学习数学，然而在第三学年，他虽以优异的成绩通过学位考试，但却转而去学习哲学，并且在1894年获得了伦理学荣誉学位。而后，他和G·E·摩尔一起创立了分析哲学，在他看来，哲学和数学一样，通过应用逻辑学的方法就可以获得确定的答案，而哲学家的工作就是发现一种能够解释世界本质的、理想的逻辑语言。

　　1950年，在他78岁的时候，罗素凭借《西方哲学史》获得了当年的诺贝尔文学奖，授奖词中这样写道：“罗素的哲学具体的体现了阿尔弗雷德·诺贝尔先生当初设奖的动机……两人同样相信怀疑论和’乌托邦’的理想，并因对当代世界格局的悲观看法而共同强调了人类行为的理想化。”

免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。

　　罗素悖论:设性质P(x)表示"x不属于x"，现假设由性质P确定了一个类A--也就是说"A={x|x∉A}"。那么问题是:A属于A是否成立?首先，若A属于A，则A是A的元素，那么A具有性质P，由性质P知A不属于A;其次，若A不属于 A，也就是说A具有性质P，而A是由所有具有性质P的类组成的，所以A属于A。

　　罗素悖论还有一些更为通俗的描述，如理发师悖论、书目悖论。

　　20世纪之初，数学界甚至整个科学界笼罩在一片喜悦祥和的气氛之中，科学家们普遍认为，数学的系统性和严密性已经达到，科学大厦已经基本建成。例如，德国物理学家基尔霍夫(G.R.Kirchhoff)就曾经说过：“物理学将无所作为了，至多也只能在已知规律的公式的小数点后面加上几个数字罢了。”英国物理学家开尔文(L.Kelvin)在1900年回顾物理学的发展时也说：“在已经基本建成的科学大厦中，后辈物理学家只能做一些零碎的修补工作了。”法国大数学家彭迦莱(Poincar6)在1900年的国际数学家大会上也公开宣称，数学的严格性，现在看来可以说是实现了。然而好景不长，时隔不到两年，科学界就发生了一件大事，这件大事就是罗素(Russell)悖论的发现。

　　所谓罗素悖论指的是由罗素发现的一个集合论悖论。设集合S是由一切不属于自身的集合所组成，即“S={x|x ? S}”。那么问题是：S包含于S是否成立?首先，若S包含于S，则不符合x?S，则S不包含于S;其次，若S不包含于S，则符合x?S，S包含于S。

　　例子

　　理发师悖论

　　在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。

　　理发师悖论与罗素悖论是等价的：如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己?这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。

　　“理发师悖论”是很容易解决的，解决的办法之一就是修正理发师的规矩，将他自己排除在规矩之外;可是严格的罗素悖论就不是这么容易解决的了。

　　书目悖论

　　一个图书馆编纂了一本书名词典，它列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。那么它列不列出自己的书名?这个悖论与理发师悖论基本一致。

　　影响

　　十九世纪下半叶，德国数学家康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。

　　1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的。这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。罗素的这条悖论使集合论产生了危机。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。德国的著名逻辑学家弗雷格在他的关于集合的基础理论完稿付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”

　　公理化集合论的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展。

　　于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次数学危机。

　　罗素的悖论发表之后，接着又发现一系列悖论(后来归入所谓语义悖论)：

　　理查德悖论

　　培里悖论

　　格瑞林和纳尔逊悖论

　　悖论的解决

　　罗素构造了一个集合S：S由一切不属于自身的集合所组成。然后罗素问：s是否属于S呢?根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果s属于S，根据S的定义，s就不属于S;反之，如果s不属于S，同样根据定义，s就属于S。无论如何都是矛盾的。

　　罗素悖论提出后，数学家们纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾;另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”解决这一悖论主要有两种选择，ZF公理系统和 NBG公理系统。

　　1908年，策梅罗(Ernst Zermelo)在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。这一公理系统在通过弗兰克尔(Abraham Fraenkel)的改进后被称为ZF公理系统。在该公理系统中，由于分类公理(Axiom schema of specification)：P(x)是x的一个性质，对任意已知集合A，存在一个集合B使得对所有元素x∈B当且仅当x∈A且P(x);因此{x∣x是一个集合}并不能在该系统中写成一个集合，由于它并不是任何已知集合的子集;并且通过该公理，存在集合A={x∣x是一个集合}在ZF系统中能被证明是矛盾的，因此罗素悖论在该系统中被避免了。

　　除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如冯·诺伊曼(von Neumann)等人提出的NBG系统等。在该公理系统中，所有包含集合的"collection"都能被称为类(class)，凡是集合也能被称为类，但是某些 collection太大了(比如一个collection包含所有集合)以至于不能是一个集合，因此只能是个类。这同样也避免了罗素悖论。

免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。

　　数学基础的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的;到现在虽然已经超过了一个世纪，但从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论而造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且集合论在实际上已经成为了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。

　　1897年意大利数学家布拉里.福尔蒂揭示了集合论的第一个悖论。两年后，康托发现了很相似的悖论。福尔蒂和康托的悖论只涉及到集合论中的结果，没有引起当时数学家们的足够重视。但罗素于1901年5月发现了一个悖论。它除了涉及集合概念本身外不需要别的概念。哲学家罗素

　　在描述罗素悖论之前，请首先注意：集合，或者是它们本身的成员，或者不是它们本身的成员。例如，抽象概念的集合本身是抽象的概念，但是所有人的集合不是一个人。再则，所有集合的集合本身是一个集合，但是所有鸟儿的集合不是一只鸟。假设M表示是它们本身的成员的所有集合的集合。而N表示不是它们本身的成员的所有集合的集合。然后问：集合N是否是它本身的成员。显然，如果N是它本身的成员，则N是M的成员而不是N的成员，于是N不是它本身的成员。另一方面，如果N不是它本身的成员，则N是N的成员，而不是M的成员，于是N是它本身的成员。悖论在于：无论哪种情况，我们都将导致矛盾。

　　罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中，最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且只给村子里这样的人刮脸。当人们试图答复下列疑问时，就认识到了这种情况的变化性质：“理发师是否自己给自己刮脸?”如果他给自己刮脸。那么他就不符合他的原则;如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸。

　　罗素悖论使整个数学大厦动摇了。当弗雷格已经完成他的关于算术基础的两册巨著《算术的基本法则》的最后一册时，罗素通信告诉了他这个悖论。弗雷格在其论著的末尾以悲哀的话语写道：“一位科学家不会碰到比这更痛苦的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了。当本书等待复印的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地”。于是，他终结了这不止12年的辛勤劳动。狄德金原来打算把《连续性及无理数》第3版复印，这时也把稿件抽了回来。发现拓扑学中“不动点原理”的布劳威也认为自己过去作的工作都是“废话”，声称要放弃不动点原理。

　　罗素悖论的“破坏力”还不仅局限在数学领域，只要把罗素悖论的陈述略加修改，即用逻辑的术语来代替集合论中的术语，罗素悖论就可以推广到逻辑领域。这样，罗素悖论就不仅触及到数学的基础理论本身，它涉及到了一向被认为极为严谨的两门科学 — 数学和逻辑学。

　　实际上，早在两千多年前，逻辑学上就已经有人提出了类似的悖论。例如，据说公元前4世纪的欧伯利得曾提出悖论：“我现在正在做的这一陈述是假的。”如果这个陈述是真的， 则它是假的;然而，如果这个陈述是假的，则它必定是真的。于是，这个陈述既不能是真的，又不能是假的，怎么也逃避不了矛盾。更早的还有公元前六世纪，克里特人埃皮门尼德提出的悖论：“克利特人总是说谎的人”。只要简单分析一下，就能揭示出这句话也是自相矛盾的。

　　集合论中悖论的存在，明确地表示某些地方出了毛病。自从悖论被发现之后，关于这一课题发表了大量的文章，为解决它们作过了大量的尝试。

　　就数学而论，看来有一条容易的出路：人们只要把集合论建立在公理化的基础上，加以充分限制以排除所知道的矛盾。第一次这样的尝试是策梅罗于1908年做出的。以后还有多人进行加工。但是，此种方式曾受到批评，因为它只是避开了某些悖论，而未能说明这些悖论;此外，它不能保证将来不出现别种悖论。

　　另一种方式既能理解又能排除已知的悖论。如果仔细地检查，就会看到：上面的每一个悖论，都涉及一个集合S和S的一个成员m(而m是靠S定义的)。这样的一个定义被称作是“非断言的”，而非断言的定义在某种意义上是循环的。例如，考虑罗素的理发师悖论，用m标志理发师，用S标志理发师那个村的所有成员的集合，则m被非断言地定义为“S的给并且只给不给自己刮脸的人刮脸的那个成员”。此定义的循环的性质是显然的―理发师的定义涉及村子的成员，并且，理发师本身就是村子的成员。庞加莱认为出现矛盾的原因在于非断言的定义。并且，罗素在其恶性循环原则中表示过同样的观点：没有一个集合S被允许包括只能用S定义的成员m，或者涉及或先假定S的成员m。

　　因此，不允许有非断言的定义便可能是一种解决集合论的已知悖论的办法。然而，对这种解决办法，有一个严重的责难，即包括非断言定义的那几部分数学是数学家很不愿丢弃的。例如定理“每一个具有上界的实数非空集合有最小上界(上确界)。”数学中有许多类似的非断言定义的例子，虽然它们有一些可以设法避开。但数学家们却不愿回避问题的存在。

　　解决集合论的悖论的其它尝试，是从逻辑上去找问题的症结。这带来了对逻辑基础的全面研究。设想：可能通过三值逻辑的使用摆脱悖论的困难是一种很引人入胜的想法。例如，在上面给出的罗素悖论中，可以看到：“N是它自己的成员”这句话既不是真的，也不是假的。在这里，第三种可能性会产生帮助。用T来表示一个命题为“真”，用F来表示一个命题为“假”，而第三种既非T又非F的性质用问号“?”来表示。如果我们能将这类陈述简单的分类为“?”，这个问题也就解决了。

　　从1900年到1930年左右，数学的第三次危机使许多数学家卷入一场大辩论当中。他们看到这次危机涉及到数学的根本，因此必须对数学的哲学基础加以严密的考察。在这场大辩论中，原来的不明显的意见分歧扩展成为学派的争论。以罗素为代表的逻辑主义、以布劳威为代表的直觉主义、以希尔伯特为代表的形式主义三大数学哲学学派应运而生。它们都是唯心主义学派。它们都提出了各自的处理一般集合论中的悖论的办法。他们在争论中尽管言语尖刻，好象势不两立，其实各自的观点都吸收了对方的看法而有很多变化。1931年，哥德尔不完全性定理的证明暴露了各派的弱点，哲学的争论冷谈了下来。此后，各派力量沿着自己的道路发展演化。尽管争论的问题远未解决，但大部分数学家并不大关心哲学问题。直到近年，数学哲学问题才又激起人们的兴趣。

　　承认无穷集合，承认无穷基数，就好象一切灾难都出来了。这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。经过“悖论”大辩论的洗礼，现代公理集合论的一大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次数学危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。

免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。