第三次数学危机

　　数学基础的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的;到现在虽然已经超过了一个世纪，但从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论而造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且集合论在实际上已经成为了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。

　　1897年意大利数学家布拉里.福尔蒂揭示了集合论的第一个悖论。两年后，康托发现了很相似的悖论。福尔蒂和康托的悖论只涉及到集合论中的结果，没有引起当时数学家们的足够重视。但罗素于1901年5月发现了一个悖论。它除了涉及集合概念本身外不需要别的概念。哲学家罗素

　　在描述罗素悖论之前，请首先注意：集合，或者是它们本身的成员，或者不是它们本身的成员。例如，抽象概念的集合本身是抽象的概念，但是所有人的集合不是一个人。再则，所有集合的集合本身是一个集合，但是所有鸟儿的集合不是一只鸟。假设M表示是它们本身的成员的所有集合的集合。而N表示不是它们本身的成员的所有集合的集合。然后问：集合N是否是它本身的成员。显然，如果N是它本身的成员，则N是M的成员而不是N的成员，于是N不是它本身的成员。另一方面，如果N不是它本身的成员，则N是N的成员，而不是M的成员，于是N是它本身的成员。悖论在于：无论哪种情况，我们都将导致矛盾。

　　罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中，最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且只给村子里这样的人刮脸。当人们试图答复下列疑问时，就认识到了这种情况的变化性质：“理发师是否自己给自己刮脸?”如果他给自己刮脸。那么他就不符合他的原则;如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸。

　　罗素悖论使整个数学大厦动摇了。当弗雷格已经完成他的关于算术基础的两册巨著《算术的基本法则》的最后一册时，罗素通信告诉了他这个悖论。弗雷格在其论著的末尾以悲哀的话语写道：“一位科学家不会碰到比这更痛苦的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了。当本书等待复印的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地”。于是，他终结了这不止12年的辛勤劳动。狄德金原来打算把《连续性及无理数》第3版复印，这时也把稿件抽了回来。发现拓扑学中“不动点原理”的布劳威也认为自己过去作的工作都是“废话”，声称要放弃不动点原理。

　　罗素悖论的“破坏力”还不仅局限在数学领域，只要把罗素悖论的陈述略加修改，即用逻辑的术语来代替集合论中的术语，罗素悖论就可以推广到逻辑领域。这样，罗素悖论就不仅触及到数学的基础理论本身，它涉及到了一向被认为极为严谨的两门科学 — 数学和逻辑学。

　　实际上，早在两千多年前，逻辑学上就已经有人提出了类似的悖论。例如，据说公元前4世纪的欧伯利得曾提出悖论：“我现在正在做的这一陈述是假的。”如果这个陈述是真的， 则它是假的;然而，如果这个陈述是假的，则它必定是真的。于是，这个陈述既不能是真的，又不能是假的，怎么也逃避不了矛盾。更早的还有公元前六世纪，克里特人埃皮门尼德提出的悖论：“克利特人总是说谎的人”。只要简单分析一下，就能揭示出这句话也是自相矛盾的。

　　集合论中悖论的存在，明确地表示某些地方出了毛病。自从悖论被发现之后，关于这一课题发表了大量的文章，为解决它们作过了大量的尝试。

　　就数学而论，看来有一条容易的出路：人们只要把集合论建立在公理化的基础上，加以充分限制以排除所知道的矛盾。第一次这样的尝试是策梅罗于1908年做出的。以后还有多人进行加工。但是，此种方式曾受到批评，因为它只是避开了某些悖论，而未能说明这些悖论;此外，它不能保证将来不出现别种悖论。

　　另一种方式既能理解又能排除已知的悖论。如果仔细地检查，就会看到：上面的每一个悖论，都涉及一个集合S和S的一个成员m(而m是靠S定义的)。这样的一个定义被称作是“非断言的”，而非断言的定义在某种意义上是循环的。例如，考虑罗素的理发师悖论，用m标志理发师，用S标志理发师那个村的所有成员的集合，则m被非断言地定义为“S的给并且只给不给自己刮脸的人刮脸的那个成员”。此定义的循环的性质是显然的―理发师的定义涉及村子的成员，并且，理发师本身就是村子的成员。庞加莱认为出现矛盾的原因在于非断言的定义。并且，罗素在其恶性循环原则中表示过同样的观点：没有一个集合S被允许包括只能用S定义的成员m，或者涉及或先假定S的成员m。

　　因此，不允许有非断言的定义便可能是一种解决集合论的已知悖论的办法。然而，对这种解决办法，有一个严重的责难，即包括非断言定义的那几部分数学是数学家很不愿丢弃的。例如定理“每一个具有上界的实数非空集合有最小上界(上确界)。”数学中有许多类似的非断言定义的例子，虽然它们有一些可以设法避开。但数学家们却不愿回避问题的存在。

　　解决集合论的悖论的其它尝试，是从逻辑上去找问题的症结。这带来了对逻辑基础的全面研究。设想：可能通过三值逻辑的使用摆脱悖论的困难是一种很引人入胜的想法。例如，在上面给出的罗素悖论中，可以看到：“N是它自己的成员”这句话既不是真的，也不是假的。在这里，第三种可能性会产生帮助。用T来表示一个命题为“真”，用F来表示一个命题为“假”，而第三种既非T又非F的性质用问号“?”来表示。如果我们能将这类陈述简单的分类为“?”，这个问题也就解决了。

　　从1900年到1930年左右，数学的第三次危机使许多数学家卷入一场大辩论当中。他们看到这次危机涉及到数学的根本，因此必须对数学的哲学基础加以严密的考察。在这场大辩论中，原来的不明显的意见分歧扩展成为学派的争论。以罗素为代表的逻辑主义、以布劳威为代表的直觉主义、以希尔伯特为代表的形式主义三大数学哲学学派应运而生。它们都是唯心主义学派。它们都提出了各自的处理一般集合论中的悖论的办法。他们在争论中尽管言语尖刻，好象势不两立，其实各自的观点都吸收了对方的看法而有很多变化。1931年，哥德尔不完全性定理的证明暴露了各派的弱点，哲学的争论冷谈了下来。此后，各派力量沿着自己的道路发展演化。尽管争论的问题远未解决，但大部分数学家并不大关心哲学问题。直到近年，数学哲学问题才又激起人们的兴趣。

　　承认无穷集合，承认无穷基数，就好象一切灾难都出来了。这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。经过“悖论”大辩论的洗礼，现代公理集合论的一大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次数学危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。

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　　数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托尔的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。

　　背景

　　第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初，当时正是数学空前兴旺发达的时期。首先是逻辑的数学化，促使了数理逻辑这门学科诞生。

　　十九世纪七十年代康托尔创立的集合论是现代数学的基础，也是产生危机的直接来源。十九世纪末，戴德金及皮亚诺对算术及实数理论进行公理化，推动了公理化运动。而公理化运动的最大成就则是希尔伯特在1899年对于初等几何的公理化。

　　为了讲清楚第三次数学危机的来龙去脉，我们首先要说明什么是数学危机。一般来讲，危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。

　　数学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷，连续与离散，乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等等。在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。

　　矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。

　　人类最早认识的是自然数。从引进零及负数就经历过斗争:要么引进这些数，要么大量的数的减法就行不通;同样，引进分数使乘法有了逆运算--除法，否则许多实际问题也不能解决。但是接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用有理数来表示?于是发现无理数就导致了第一次数学危机，而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的体系化。

　　方程的解导致了虚数的出现，虚数从一开始就被认为是"不实的"。可是这种不实的数却能解决实数所不能解决的问题，从而为自己争得存在的权利。

　　几何学的发展从欧几里得几何的一统天下发展到各种非欧几何学也是如此。在十九世纪发现了许多用传统方法不能解决的问题，如五次及五次以上代数方程不能通过加、减、乘、除、乘方、开方求出根来;古希腊几何三大问题，即三等分任意角、倍立方体、化圆为方不能通过圆规、直尺作图来解决等等。

　　这些否定的结果表明了传统方法的局限性，也反映了人类认识的深入。这种发现给这些学科带来极大的冲击，几乎完全改变了它们的方向。比如说，代数学从此以后向抽象代数学方面发展，而求解方程的根变成了分析及计算数学的课题。在第三次数学危机中，这种情况也多次出现，尤其是包含整数算术在内的形式系统的不完全性、许多问题的不可判定性都大大提高了人们的认识，也促进了数理逻辑的大发展。

　　这种矛盾、危机引起的发展，改变面貌，甚至引起革命，在数学发展历史上是屡见不鲜的。第二次数学危机是由无穷小量的矛盾引起的，它反映了数学内部的有限与无穷的矛盾。数学中也一直贯穿着计算方法、分析方法在应用与概念上清楚及逻辑上严格的矛盾。在这方面，比较注意实用的数学家盲目应用。而比较注意严密的数学家及哲学家则提出批评。只有这两方面取得协调一致后，矛盾才能解决。后来算符演算及δ函数也重复了这个过程，开始是形式演算、任意应用，直到施瓦尔兹才奠定广义函数论的严整系统。

　　对于第三次数学危机，有人认为只是数学基础的危机，与数学无关。这种看法是片面的。诚然，问题涉及数理逻辑和集合论，但它一开始就牵涉到无穷集合，而现代数学如果脱离无穷集合就可以说寸步难行。因为如果只考虑有限集合或至多是可数的集合，那绝大部分数学将不复存在。而且即便这些有限数学的内容，也有许多问题要涉及无穷的方法，比如解决数论中的许多问题都要用解析方法。由此看来，第三次数学危机是一次深刻的数学危机。

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　　弗里德里希·路德维希·戈特洛布·弗雷格(德语:Friedrich Ludwig Gottlob Frege，1848年11月8日-1925年7月26日)，德国数学家、逻辑学家和哲学家。他是数理逻辑和分析哲学的奠基人，代表作为《概念演算--一种按算术语言构成的思维符号语言》。

　　弗雷格(Gottlob Frege,1848-1925)出生在德国沿海的威斯马城(Wismar)，父亲卡尔是当地的数学教师，母亲索菲是波兰人。 早年在耶拿大学、

　　哥丁根大学学习数学、物理、化学和哲学，1873年获博士学位后在母校耶拿大学任教，直至退休。他的主要著作有《算术基础》(1884)、《涵义与指称》(1892)等。

　　弗雷格的父亲是擅长数学的学校教师。1869年弗雷格进入耶拿大学学习，两年后转至哥廷根大学，1873年在那里得到了他在数学领域的哲学博士学位。 根据Sluga的资料(1980)， 弗雷格在大学所受的逻辑和哲学教育仍是未知。1875年，他回到耶拿担任讲师，并于1879年成为助理教授，1896年成为教授。弗雷格只有一名注册学生，鲁道夫·卡尔纳普。 弗雷格在1887年娶了玛格蕾特·利泽贝格(1856-1904)为妻， 他的孩子都在成年前死去，而他于1905年领养了一名男孩。

　　弗雷格的工作没有在有生之年得到广泛的赞誉，但是受到伯特兰·罗素和路德维希·维特根斯坦和卡尔纳普的称赞，认为他注定会产生重大的影响。二战后他的工作才在英语世界广为人知，部分原因是一些哲学家和逻辑学家移居到了美国--例如卡尔纳普，塔尔斯基，和哥德尔--那些了解尊敬弗雷格工作并将他的主要著作翻译成英文的人。弗雷格的工作对分析哲学产生了巨大的影响。

　　哲学逻辑论

　　弗雷格对哲学和逻辑学提出了新的概念和理论，其要点是:

　　①区分逻辑的东西与心理的东西，客观的东西与主观的东西。真理是客观的，非心理主义的。概念、关系是抽象实体，作为逻辑与数学的对象，保证了二者的客观性。逻辑探讨证明的恰当性，由此数学才得以成立。故两门科学应紧密结合，为哲学提供起点。

　　②语词在语境中才具有意义，语句是语词成真的条件。鉴于自然语言有缺点，应建立人工语言，从而实现完全定义，即每个谓词、关系式或函项词都给每个对象下定义。

　　③区分开概念与对象。对象是专名的对应物，可作主词的指称。概念是谓词的指称，存在是否有事物隶属其下的问题。可区分开对象所属的一级概念与一级概念所属的二级概念。这两种所属关系不同，前者表现为特征，后者为标志。

　　④区分含义与指称。名称凭借含义指称对象。特定指号对应特定含义，特定含义对应特定指称(对象)，特定指称对应不只一个指号。语句表达的思想是意义，其真值是指称。语句可以有意义而无指称。

　　数理逻辑学

　　弗雷格是个政治立场保守的德国数学家，他重新激起人们对逻辑学的哲学兴趣。弗雷格试图找出算术的"基础"，以演绎的方式证明"二加二等于四"这类基本恒等式必然为真。从亚里斯多德以降，逻辑学一直是研究命题与命题彼此关系的学问，弗雷格则扩大逻辑学的内容，创造了"量化"逻辑 ( 与"全部"、"有些"、"无"等范畴有关)，使其成为今日哲学家熟知与沿用的知识。正如笛卡儿与洛克沿着知识论大道发展现代哲学，弗雷格也沿着逻辑学与语言分析之路发展当代哲学。"语言学转向"是个令人兴奋的突破，它试图以"分析"哲学为基础，解释所有的理论。

　　人物评价

　　弗雷格被公认为伟大的逻辑学家，如同亚里士多德，哥德尔，塔尔斯基。他于1879年出版的概念文字标志着逻辑学史的转折。 概念文字开辟了新的领域。

　　书的完整标题把它标识为"模仿算术的纯思维的形式语言"。这本小书无可争议是亚里士多德之后在逻辑学领域最重要的出版物。弗雷格开发他的形式逻辑系统的动机是类似于莱布尼兹对演算推论器的渴望。

　　弗雷格定义了逻辑演算来支持他在数学基础上的研究。概念文字是书和其中定义的演算二者的名字。

　　中国出版了《弗雷格思想研究》，认为:弗雷格是现代逻辑的创始人，也被公认是分析哲学和语言哲学的创始人。他的思想对于逻辑的产生和发展，对于当代哲学，特别是对分析哲学和语言哲学的研究和发展，产生了极其重要的推动作用。弗雷格的影响之大，只要看一看西方文献就可以感觉到:几乎每一部著作都要提到他，而且把他放在很重要的位置。

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　　格奥尔格·康托尔(Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845.3.3-1918.1.6)德国数学家，集合论的创始人。生于俄国列宁格勒(今俄罗斯圣彼得堡)。父亲是犹太血统的丹麦商人，母亲出身艺术世家。1856年全家迁居德国的法兰克福。先在一所中学，后在威斯巴登的一所大学预科学校学习。

　　康托尔，1862年入苏黎世大学学工,翌年转入柏林大学攻读数学和神学，受教于库默尔(Kummer，Ernst Eduard，1810.1.29-1893.5.14)、维尔斯特拉斯(Weierstrass，Karl Theodor Wilhelm，1815.10.31-1897.2.19)和克罗内克(Kronecker，Leopold，1823.12.7-1891.12.29)。1866年曾去格丁根学习一学期。1867年在库默尔指导下以解决一般整系数不定方程ax2+by2+cz2=0求解问题的论文获博士学位。毕业后受魏尔斯特拉斯的直接影响，由数论转向严格的分析理论的研究，不久崭露头角。他在哈雷大学任教(1869-1913)的初期证明了复合变量函数三角级数展开的唯一性，继而用有理数列极限定义无理数。1872年成为该校副教授，1879年任教授。由于学术观点上受到的沉重打击，康托尔曾一度患精神分裂症，虽在1887年恢复了健康，继续工作，但晚年一直病魔缠身。1918年1月6日在德国哈雷(Halle)-维滕贝格大学附属精神病院去世。

　　康托尔爱好广泛，极有个性，终身信奉宗教。早期在数学方面的兴趣是数论，1870年开始研究三角级数并由此导致19世纪末、20世纪初最伟大的数学成就--集合论和超穷数理论的建立。除此之外，他还努力探讨在新理论创立过程中所涉及的数理哲学问题.1888-1893年康托尔任柏林数学会第一任会长，1890年领导创立德国数学家联合会并任首届主席。

　　康托尔，1862年入苏黎世大学学工,翌年转入柏林大学攻读数学和神学，受教于库默尔(Kummer，Ernst Eduard，1810.1.29-1893.5.14)、维尔斯特拉斯(Weierstrass，Karl Theodor Wilhelm，1815.10.31-1897.2.19)和克罗内克(Kronecker，Leopold，1823.12.7-1891.12.29)。1866年曾去格丁根学习一学期。1867年在库默尔指导下以解决一般整系数不定方程ax2+by2+cz2=0求解问题的论文获博士学位。毕业后受魏尔斯特拉斯的直接影响，由数论转向严格的分析理论的研究，不久崭露头角。他在哈雷大学任教(1869-1913)的初期证明了复合变量函数三角级数展开的唯一性，继而用有理数列极限定义无理数。1872年成为该校副教授，1879年任教授。由于学术观点上受到的沉重打击，康托尔曾一度患精神分裂症，虽在1887年恢复了健康，继续工作，但晚年一直病魔缠身。1918年1月6日在德国哈雷(Halle)-维滕贝格大学附属精神病院去世。

　　康托尔爱好广泛，极有个性，终身信奉宗教。早期在数学方面的兴趣是数论，1870年开始研究三角级数并由此导致19世纪末、20世纪初最伟大的数学成就--集合论和超穷数理论的建立。除此之外，他还努力探讨在新理论创立过程中所涉及的数理哲学问题.1888-11884年，由于连续统假设长期得不到证明，再加上与克罗内克的尖锐对立，精神上屡遭打击，5月底，他支持不住了，第一次精神崩溃。他的精神沮丧，不能很好地集中研究集合论，从此深深地卷入神学、哲学及文学的争论而不能自拔。不过每当他恢复常态时，他的思想总变得超乎寻常的清晰，继续他的集合论的工作。

　　康托尔的集合论得到公开的承认和热情的称赞应该说首先在瑞士苏黎世召开的第一届国际数学家大会上表现出来。瑞士苏黎世理工大学教授胡尔维茨(Hurwitz，Adolf，1859.3.26-1919.11.18)在他的综合报告中，明确地阐述康托尔集合论对函数论的进展所起的巨大推动作用，这破天荒第一次向国际数学界显示康托尔的集合论不是可有可无的哲学，而是真正对数学发展起作用的理论工具。在分组会上，法国数学家阿达玛(Hadamard Jacques，1865.12.8-1963.10.17)，也报告康托尔对他的工作的重要作用。随着时间的推移，人们逐渐认识到集合论的重要性。希尔伯特(Hilbert David，1862.1.23-1943.2.14)高度赞誉康托尔的集合论"是数学天才最优秀的作品"，"是人类纯粹智力活动的最高成就之一"，"是这个时代所能夸耀的最巨大的工作"。在1900年第二届国际数学家大会上，希尔伯特高度评价了康托尔工作的重要性，并把康托尔的连续统假设列入20世纪初有待解决的23个重要数学问题之首。当康托尔的朴素集合论出现一系列悖论时，克罗内克的后继者布劳威尔(1881.2.27-1966.12.2)等人借此大做文章，希尔伯特用坚定的语言向他的同代人宣布:"没有任何人能将我们从康托尔所创造的伊甸园中驱赶出来"。893年康托尔任柏林数学会第一任会长，1890年领导创立德国数学家联合会并任首届主席。

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