主要成就
科学研究
希尔伯特是对二十世纪数学有深刻影响的数学家之一，他领导了著名的哥廷根学派，使哥廷根大学成为当时世界数学研究的重要中心，并培养了一批对现代数学发展做出重大贡献的杰出数学家。
希尔伯特的数学工作可以划分为几个不同的时期，每个时期他几乎都集中精力研究一类问题。按时间顺序，他的主要研究内容有：不变量理论、代数数域理论、几何基础、积分方程、物理学、一般数学基础，其间穿插的研究课题有：狄利克雷原理和变分法、华林问题、特征值问题、“希尔伯特空间”等。
在这些领域中，他都做出了重大的或开创性的贡献。希尔伯特认为，科学在每个时代都有它自己的问题，而这些问题的解决对于科学发展具有深远意义。他指出：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡和终止。”
在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。这23个问题统称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未得到解决。他在讲演中所阐发的相信每个数学问题都可以得到解决的信念，对数学工作者是一种巨大的鼓舞。他说：“在我们中间，常常听到这样的呼声：这里有一个数学问题，去找出它的答案!你能通过纯思维找到它，因为在数学中没有不可知。”三十年后，1930年，在接受哥尼斯堡荣誉市民称号的讲演中，针对一些人信奉的不可知论观点，他再次满怀信心地宣称：“我们必须知道，我们必将知道。”希尔伯特去世后，这句话就刻在了他的墓碑上。
希尔伯特的《几何基础》(1899)是公理化思想的代表作，书中把欧几里得几何学加以整理，成为建立在一组简单公理基础上的纯粹演绎系统，并开始探讨公理之间的相互关系与研究整个演绎系统的逻辑结构。
1904年，又着手研究数学基础问题，经过多年酝酿，于二十年代初，提出了如何论证数论、集合论或数学分析一致性的方案。他建议从若干形式公理出发将数学形式化为符号语言系统，并从不假定实无穷的有穷观点出发，建立相应的逻辑系统。然后再研究这个形式语言系统的逻辑性质，从而创立了元数学和证明论。希尔伯特的目的是试图对某一形式语言系统的无矛盾性给出绝对的证明，以便克服悖论引起的危机，一劳永逸地消除对数学基础以及数学推理方法可靠性的怀疑。
1930年，年轻的奥地利数理逻辑学家哥德尔(K.G?del，1906～1978)获得了否定的结果，证明了希尔伯特方案是不可能实现的。但正如哥德尔所说，希尔伯特有关数学基础的方案“仍不失其重要性，并继续引起人们的高度兴趣。”
学术论著
《希尔伯特全集》(三卷，其中包括他的著名的《数论报告》)、《几何基础》、《线性积分方程一般理论基础》等，与其他人合著的有《数学物理方法》、《理论逻辑基础》、《直观几何学》、《数学基础》。
希尔伯特问题
在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的相信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。
希尔伯特的23个问题分属四大块：第1到第6问题是数学基础问题;第7到第12问题是数论问题;第13到第18问题属于代数和几何问题;第19到第23问题属于数学分析。
(1)康托的连续统基数问题。
1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科思(P.Choen)证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下，问题已获解决。
(2)算术公理系统的无矛盾性。
欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。根茨(G.Gentaen，1909-1945)1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。
(3)只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。
问题的意思是：存在两个等高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。德思(M.Dehn)在1900年已解决。
(4)两点间以直线为距离最短线问题。
此问题提的一般。满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫(Pogleov)宣布，在对称距离情况下，问题获解决。
(5)拓扑学成为李群的条件(拓扑群)。
这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。1952年，由格里森(Gleason)、蒙哥马利(Montgomery)、齐平(Zippin)共同解决 [2] 。1953年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。
(6)对数学起重要作用的物理学的公理化。
1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。后来，在量子力学、量子场论方面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化，很多人有怀疑。
(7)某些数的超越性的证明。
需证：如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么α^β一定是超越数或至少是无理数(例如，2^√2和exp(π))。苏联的盖尔封特(Gelfond)1929年、德国的施奈德(Schneider)及西格尔(Siegel)1935年分别独立地证明了其正确性。但超越数理论还远未完成。目前，确定所给的数是否超越数，尚无统一的方法。
(8)素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数问题。
素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼(Riemann)猜想、哥德巴赫(Goldbach)猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未获最终解决，其最佳结果分别属于中国数学家陈景润和张益唐。
(9)一般互反律在任意数域中的证明。
1921年由日本的高木贞治，1927年由德国的阿廷(E.Artin)各自给以基本解决。而类域理论至今还在发展之中。
(10)能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解?
求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图(约210-290，古希腊数学家)方程可解。1950年前后，美国数学家戴维斯(Davis)、普特南(Putnan)、罗宾逊(Robinson)等取得关键性突破。1970年，巴克尔(Baker)、费罗斯(Philos)对含两个未知数的方程取得肯定结论。1970年。苏联数学家马蒂塞维奇最终证明：在一般情况下，答案是否定的。虽然得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系。
(11)一般代数数域内的二次型论。
德国数学家哈塞(Hasse)和西格尔(Siegel)在20年代获重要结果。60年代，法国数学家魏依(A.Weil)取得了新进展。
(12)类域的构成问题。
即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问题仅有一些零星结果，离彻底解决还很远。
(13)一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。
(14)建立代数几何学的基础。
荷兰数学家范德瓦尔登1938年至1940年，魏依1950年已解决。
注一舒伯特(Schubert)计数演算的严格基础。
一个典型的问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交?舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学有密切的关系。但严格的基础至今仍未建立。
(15)代数曲线和曲面的拓扑研究。
此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部要求讨论备dx/dy=Y/X的极限环的最多个数N(n)和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式。对n=2(即二次系统)的情况，1934年福罗献尔得到N(2)≥1;1952年鲍廷得到N(2)≥3;1955年苏联的波德洛夫斯基宣布N(2)≤3，这个曾震动一时的结果，由于其中的若干引理被否定而成疑问。关于相对位置，中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了(E2)不超过两串。1957年，中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n=2的方程具有至少3个成串极限环的实例。1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。1983年，秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环，并且是(1，3)结构，从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题，并为研究希尔伯特第(16)问题提供了新的途径。
(16)用全等多面体构造空间。
德国数学家比贝尔巴赫(Bieberbach)1910年，莱因哈特(Reinhart)1928年作出部分解决。
(17)正则变分问题的解是否总是解析函数?
德国数学家伯恩斯坦(Bernrtein，1929)和苏联数学家彼德罗夫斯基(1939)已解决。
(18)研究一般边值问题。
此问题进展迅速，已成为一个很大的数学分支，目前还在继读发展。
(19)具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明。
此问题属线性常微分方程的大范围理论。希尔伯特本人于1905年、勒尔(H.Rohrl)于1957年分别得出重要结果。1970年法国数学家德利涅(Deligne)作出了出色贡献。
(20)用自守函数将解析函数单值化。
此问题涉及艰深的黎曼曲面理论，1907年克伯(P.Koebe)对一个变量情形已解决而使问题的研究获重要突破。其它方面尚未解决。
(21)发展变分学方法的研究。
这不是一个明确的数学问题。20世纪变分法有了很大发展。
(22)用自守函数将解析函数单值化。
此问题涉及艰深的黎曼曲面理论，1907年克伯(P.Koebe)对一个变量情形已解决而使问题的研究获重要突破。其它方面尚未解决。
(23)发展变分学方法的研究。
这不是一个明确的数学问题。20世纪变分法有了很大发展。
人物轶事
1. 以希尔伯特命名的数学名词多如牛毛，有些连希尔伯特本人都不知道。比如有一次，希尔伯特问系里的同事“请问什么叫做希尔伯特空间?”
2.1916年，埃米·诺特这位卓有才华的青年妇女来到哥廷根大学。希尔伯特对她的学识倍加欣赏，立即决定让她留下来当讲师，辅助相对论的研究工作。但当时歧视妇女的现象相当严重，希尔伯特的建议遭到语言学、历史学等教授们的强烈反对。希尔伯特拍案而起，大声疾呼：“先生们，这里是学校，不是澡堂!” 于是因此激怒了他的对手，希尔伯特对此不为所动，毅然决定让诺特以自己的名义代课。
3.他的一位学生买了一辆车，后来不幸死于一场车祸。在葬礼上，死者家属请希尔伯特老师说几句话，于是他说：“小克劳斯是我的学生当中最优秀的，他生前在数学方面，具有非凡的天分。他对数学问题的涉及非常广泛，诸如……” 他暂停了一会儿，然后说：“考虑单位区间上一组可微函数，然后取它们的闭包……”
获奖记录
1930年获得瑞典科学院的米塔格 - 莱福勒奖，
1942年成为柏林科学院荣誉院士。
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