隐没天才
1823年当阿贝尔的第一篇论文发表后，他的朋友便力请挪威政府资助他到德国及法国进修。当等待政府回复时，在1824年他发表了他的《一元五次方程没有代数一般解》的论文，渴望为他带来肯定地位。他把论文寄了给当时有名的数学家高斯，可惜高斯错过了这篇论文，也不知道这个著名的代数难题已被解破。
1825-26年的冬季，他远赴柏林，并认识了克列尔(Crelle)。克列尔是个土木工程师，而且对数学很有热诚，他跟阿贝尔成为很要好的朋友。1826年，在阿贝尔的鼓励下，克列尔创立了一份纯数学和应用数学杂志(Journal für die reine und angewandte Mathematik)，该杂志的第一期便刊登了阿贝尔在五次方程的工作成果，另外还有方程理论、泛函方程及理论力学等的论文。在柏林，新的数学向导使他继续独立地进行研究工作，後来阿贝尔更到了欧洲不同的地方。
1826年夏天，他在巴黎造访了当时最顶尖的数学家，并且完成了一份有关超越函数的研究报告。这些工作展示出一个代数函数理论，现称为阿贝尔定理，而这定理也是後期阿贝尔积分及阿贝尔函数的理论基础。他在巴黎被冷落对待，他曾经把他的研究报告寄去科学学院，望可得到好评，但他的努力也是徒然。他在离开巴黎前染顽疾，最初只以为只是感冒，后来才知道是肺结核病。
他辗转回到挪威，但欠下不少钱债。他只好靠教书及收取大学的微薄津贴为生。在1828年，他找到一份代课教师之职来维持生计。但他的穷困及病况并没有减低他对数学的热诚，他在这段期间写了大量的论文，主要是方程理论及椭圆函数，也就是有关阿贝尔方程和阿贝尔群的理论。他比雅可比(Jacobi)更快完全了椭圆函数的理论。此时，阿贝尔的名声经已响遍所有的数学中心，各方面的人也希望为他找到一个适当的教授席位，当中克列尔便希望为他在柏林找得一个教授席位。
在1828年冬天，阿贝尔的病逐渐严重起来。在他圣诞节去芬罗兰(Froland)探他的未婚妻克莱利·肯姆普(Crelly Kemp)期间，病情便更恶化。到1829年1月时，他已知自己寿命不长，出血的症状已无法否认。直至1829年4月6日凌晨，阿贝尔去世了，他的未婚妻坚持不要他人之助照顾阿贝尔，“单独占有这最後的时刻”。
阿贝尔去世后，他的老师霍尔姆伯于1839年为他出版了文集。
迟到荣誉
直到阿贝尔去世前不久，人们才认识到他的价值。1828年，四名法国科学院院士上书给挪威国王，请他为阿贝尔提供合适的科学研究位置，勒让德也在科学院会议上对阿贝尔大加称赞。在阿贝尔死後两天，克列尔写信说为阿贝尔成功争取於柏林大学(Freie Universität Berlin)当数学教授，可惜已经太迟，一代天才数学家已经在收到这消息前去世了。此后荣誉和褒奖接踵而来，1830年他和卡尔·雅可比共同获得法国科学院大奖。
阿贝尔在数学方面的成就是多方面的。除了五次方程之外，他还研究了更广的一类代数方程，后人发现这是具有交换的伽罗瓦群的方程。为了纪念他，后人称交换群为阿贝尔群。阿贝尔还研究过无穷级数，得到了一些判别准则以及关于幂级数求和的定理。这些工作使他成为分析学严格化的推动者。
阿贝尔和雅可比是公认的椭圆函数论的奠基者。阿贝尔发现了椭圆函数的加法定理、双周期性、并引进了椭圆积分的反演。他研究了形如的积分(现称阿贝尔积分)， 其中R(x，y)是x和y的有理函数，且存在二元多项式ƒ，使ƒ(x，y)=0。他还证明了关于上述积分之和的定理，现称阿贝尔定理，它断言：若干个这种积分之和可以用g个这种积分之和加上一些代数的与对数的项表示出来，其中g只依赖于ƒ，就是ƒ的亏格。阿贝尔这一系列工作为椭圆函数论的研究开拓了道路，并深刻地影响着其他数学分支。埃尔米特曾说：阿贝尔留下的思想可供数学家们工作150年。
科学院秘书傅立叶读了论文的引言，然后委托勒让得和柯西负责审查。柯西把稿件带回家中，究竟放在什么地方，竟记不起来了。直到两年以后阿贝尔已经去世，失踪的论文原稿才重新找到，而论文的正式发表，则迁延了12年之久。
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