程大位(1533—1606)是中国古代数学家,字汝思,号宾渠,安徽省休宁县(今黄山市)人。其故居至今尚存。
程大位出身小商,自幼聪明好学,尤其喜爱数学,常不惜重金购求算书。 20岁左右时,他利用外出经商的机会,邀游吴楚,遍访名师,遇有“睿通数学者,辄造请问难,孜孜不倦”。他身居小县城,对土地测量十分重视,曾创造“丈量步车”,并绘图传世。程大位40岁以后,倦于外游,便“归而覃思于率水之上余二十年”。他认真钻研古籍,绎其文义,审其成法,遍取各家之长,加上自己的心得体会,终于在万历二十年(1592)写成《算法统宗》(原名《直指算法统宗》)17卷。其后6年(1598),又对该书删其繁抚,揭其要领,写成《算法纂要》4卷,先后在休宁刊行。
《算法统宗》中,第一、二卷是全书所用的基本知识;第3到12卷为各种应用题解法汇编,各卷基本上以《九章算术》的章名为标题;第13卷到16卷为“难题”,其实算法都很简单,只是条件用诗歌表达;比较隐晦;第17卷为“杂法”。书中各类问题都用珠算,程大位所使用的一套简明顺口的珠算加减乘除口诀及开方方法,一直沿用至今。该书系统总结了我国的珠算法,成为一部比较完备的珠算书。它的成书及广泛流传,标志着我国数学史上由筹算向珠算转化的完成,程大位本人也因此被誉为“珠算一代宗师”。
明末思想家徐光启曾指出,明代数学落后的原因有两个,一个是“名理之儒土苴天下之实事”,另一个是“妖妄之术谬言数有神理。”程大位作为数学家,却与哪些“名理之儒”的观点不同,他十分重视实事,重视数学的应用。他的《算法统宗》之,所以能“风行宇内”,使“海内握算持筹之士,莫不家藏一编”,是与它的实用性分不开的。
(一)重视数学应用
程大位认为数学有广泛的用处,他说:“远而天地之高广,近而山川之浩衍;大而朝廷军国之需,小而民生日用之费,皆莫能外。”吴继绥在《算法统宗》序中也引用过他说的话:“多算胜少算不胜而况于无算乎?”在程大位看来,数学是社会也是人生不可缺少的。他在《算法统宗》中开宗明义,以诗歌形式写道:“世间六艺任纷坛,算乃人之根本;知书不知算法,如临暗室昏昏。”这与当时的理学家们反对经世致用的学问和轻视数学的态度形成了鲜明对照。当时盛行的八股取士制,是“以四书五经命题,八股文章取士”的,它引导知识分子远离自然科学,严重束缚了知识分子的思想。许多读书人为了功名,埋头于儒家经典,只会奢谈三纲五常之类的封建伦理,哪里还顾得上数学和其他有实用价值的科学技术呢?程大位却能突破儒家思想的束缚,中年以后全力写作《算法统宗》。以解决当时社会急需的实际问题,这种精神是十分可贵的。
不仅如此,程大位还敢于针对时弊,秉笔直书、从数学的角度揭露了贪官污吏对人民的愚弄。卷三的“亩法论”便表现了这种思想,文中说:“万历九年遵诏清丈,敝邑(休宁)总书擅变亩法,田分四等,上则一百九十步,中则二百二十步,下则二百六十步,下下则三百步。……与前贤二百四十步一亩大相缪皮,借日土田有肥硗,征役有轻重,亦宜就土田高下。别米麦之多寡、不得轻变亩法。第总书开其弊窦,举邑业已遵行,何容置喙!姑记之此,以见作聪明乱旧章之自云。”显然,这种以“土地肥挠”和“征役轻重”来确定田亩单位的作法是十分荒唐的。其目的无非是浑水摸鱼,敲诈百姓。这段话的字里行间,流露出一位正直数学家对人民的深切同情。
综观《算法统宗》全书,作者是十分重视数学应用的。595道题中,绝大部分是密切结合人民生活的应用问题。开方、勾股等方面有些纯数学问题,也是为应用题作准备的。在应用问题中,包括田亩测量、交通运输、物资分配、容积计算、税收贸易、工程技术等。题目分类基本上沿袭《九章算术》,但在体例上与《九章算术》有一点明显的不同,就是首先列举了学习全书所需的基本知识,包括算法提纲、大数、小数、度量衡、田亩测量制、珠算定位法、珠算四则运算口诀等。这就使该书不仅内容丰富,而且便于自学,成为一本良好的数学入门书。
(二)改进珠算法
《算法统宗》的另一特点是大部分题采用珠算,这也体现厂作者着眼于应用的精神。珠算盘是一种构造简单、价格低廉、容易携带的计算工具。珠算与筹算相比,运算更为方便、迅速。但当时的珠算方法还不够完善,有的口诀也不够顺畅,于是程大位便花大力气改进珠算法及珠算口诀。他为了区别乘除法口诀,在卷一明确规定:“九九合数”应“呼小数在上,大数在下”,“九归歌”应“呼大数在上,小数在下”。例如“六八四十八”是乘法口诀,“八六七十四”是除法口诀。书中记载着完整的撞归口诀,如“一归:见一无除作九一,起一下还一”;“二归,见二无除作九二,起一下还二”等等。第六、七卷中,程大位还给出珠算开平、立方的方法。虽不能肯定这是他的发明,但该书确是最早记载这种方法的古算书之一。(成书稍早于《算法统宗》而出版稍晚的朱载培《算学新说》中也有珠算开平、立方法。)书中的珠算定位法则应归功于程大位,因为当时流行的珠算书中都未提到。吴敬的《九章算法比类大全》中虽有定位法,但他是用于筹算。首次完整地叙述珠算定位法的是《算法统宗》中的“定位总歌”:
“数家定位法为奇, 因乘俱向下位推。
加减只需认本位, 归与归除上位施。
法多原实逆上数, 法前得零顺下宜。
法少原实降下数, 法前得零逆上知。”
程大位十分重视珠算口诀,他认为口诀是学珠算、用珠算的基础,一定要记熟。他反复强调:“一要熟读九歌,二要诵归除歌法”,“学算之人须努力,先将九数时时习。”
(三)补充面积公式
在用珠算法解决的各种实际问题中,特别引人注目的是面积问题。对于广大农村来说,田亩测量是不可缺少的,所以程大位十分重视面积问题。在《算法统宗》卷三“方田”中,他结合田亩测量总结出大量面积公式,并编成歌谣,给出图形。这一卷所绘图形60余种,其中比较基本的有十几种,其他都是由这些图形割补而成的。这十几种图形中,一些是《九章算术》中已有公式的,如方田(正方形)、直田(矩形)、圭田(三角形)、邪田(梯形)、圆田(圆形)、弧田(弓形)等,另一些图形则是《九章算术》中没有的,程大位分别给出公式。例如梭
形田(菱形)面积公式为:
(其中为对角线)。
眉形田(两相交圆的公共部分,如图1)面积公式为:
。
后者是一个近似公式。对于榄形田、牛
角田(见图2、图3)等不同形状的田地,
程大位分别总结出便于应用的计算公
式。对于较复杂的图形,程大位则采用
“截法”将其分为几个简单的图形来计
算。例如,他将四不等田截成两个直角
三角形及一个矩形,将三广田截成两个
梯形(见图4、图5),等等。即使是《九章算术》
中原有的图形,程大位也注意从实际应用出发,总结出更加简便的公式。他给出求等边三角形面积的近似公式:
(其中为边长),
又给出对角线为,两邻边之和为的矩形面积公式:
后者显然是一个精确公式。在题设条件下,用此公式求面积比先列出二次方程来求边长的方法简便得多。
对于计算结果、程大位既要求尽可能准确,又主张根据—体情况适可而止。例如《五曹算经》中的“四不等团”面积公为:
其误差随形而定。越接近矩形越准确,反之误差就越大。程大位不用旧法而创立“截法”、就是为了计算结果的准确。他说:“遇歪斜不等,必有斜步,岂可作正步相乘?若截之,庶无误矣。”对于更加复杂的图形,只用“截法”还不行,程大位便采用“截盈补虚”的方法,他说:“田之形状甚多,具载难尽,学者不必执泥,在于临场机变,必须截盈补虚,卑尖减大,以合规式。但田中央先取出方、直、勾股、圭、梭等形,另积旁余,并而于一,然后用法乘除之,用少广章开方等法还原,始为精密之术焉。”但他对准确性的要求是有限度的,因为他着眼于应用。他指出:“世之习算者,咸以方五斜七、围三径一为准,殊不知方五则斜七有奇,径一则围三有奇”,可见他知道有更准确的比值,但他认为不一定使用,因为:数多则散漫难收”,即精确的数据位数多,计算起采太复杂,这在实际应用中往往是没有必要的。
(四)创造丈量步车
为了适应当时测量田亩的需
要,程大位还创造了一种丈量步
车,在《算法统宗》中绘有图形
并有详细解说;这种测量工具类似于现在的卷尺,由环、十字架、转轴、锁、钻角及缠在十字架内的竹尺(薄竹片制成的尺)构成,如图6。这在当时是一种很先进的测量工具。程大位对自己的发明十分得意,在图边自题:“宾渠制造心机巧,隶首传来数学精。”
(五)寓算题于诗词
除了《算法统宗》的内容以外,我们从它的文字形式上也可以看出作者重视数学的应用与普及的思想。全书文字分为叙述性文字、诗词歌诀及图表中的文字三种形式,而诗词贯穿全书,占了相当大的比例。这些诗词,既是优美的文学作品,又是直接为数学服务的。例如“留头乘”的歌诀是一首七绝:“下乘之法此为真,起于先将第二因,三四五来乘遍了,却将本位破其身。”衰分章的一首《西江月》用来命题:“群羊一百四十,剪毛不惮勤劳,群中有母有羊羔,先剪二毛比较。大羊剪毛斤二,一十二两羔毛,百五十斤是根苗,子母各该多少?”这些诗词浅明易懂,生动有趣,使读者在学习珠算的过程中同时得到美的享受。再如盈肋章用来命题的一首五律:“今携一壶酒,游春郊外走。逢朋添一倍,入店饮斗九。相逢三处店,饮尽壶中酒。试问能算士,如何知原有?”此诗不仅朗朗上口,而且具有浓厚的生活气息。读罢全诗,仿佛在眼前展现出一幅情趣盎然的携酒春游图。这种大众化的生动诗歌,无疑会引起读者的兴趣。《算法统宗》寓算题于诗词,赋予数学书以文学色彩,其普及数学的效果是显而易见的。人们在愉快地欣赏这些诗词的同时,也就开始了对数学的理解。《算法统宗》成为明清两代流传最广泛的算书,甚至能超越国度,受到日本、朝鲜和东南亚各国人民的欢迎,其引人入胜的文字无疑是原因之一。
免责声明:以上内容源自网络,版权归原作者所有,如有侵犯您的原创版权请告知,我们将尽快删除相关内容。
在中国古代历史上,北魏冯太后是一个传奇的女性形象。她不仅是北魏的皇后,更是在详情
在中国古代历史上,北魏王朝是一个由鲜卑族建立的统一北方的政权。在这个王朝中,详情
在中国古代历史长河中,秦始皇无疑是一位极具传奇色彩的帝王。他统一六国,开创了详情
三国时期,是中国历史上一个充满战争与英雄的时代。在这个动荡的年代里,涌现出了详情
提到杭州西湖,人们自然会想到“西湖三杰”——岳飞、于谦和张苍水。他们是南宋、详情
唐玄宗李隆基,作为中国历史上著名的帝王之一,他的统治时期被誉为“开元盛世”。详情
武则天,作为中国历史上唯一的女皇帝,一直是一个颇具争议的历史人物。有关她是否详情
武媚娘,即武则天,是中国历史上唯一一位正式称帝的女性。在她的一生中,权力斗争详情
唐宋八大家是中国古代文学史上的一个特定概念,指的是唐宋两代的八位著名文人。然详情
在中国悠久的文化历史长河中,涌现出了无数杰出的文人墨客。他们以独特的才华和卓详情
耿弇,字伯昭,是东汉开国的重要将领之一,其军事才能出众,屡建战功,为东汉王朝详情
在辉煌的唐朝,政治体制日趋完善,其中谏官制度的设立是这一时代政治文明的重要体详情
北宋年间,一位女性在政治舞台上留下了深刻印记,她便是刘娥。作为宋仁宗的皇后,详情
在三国历史中,蜀汉作为一个重要的政权,其兴衰成败一直备受关注。然而,在蜀汉后详情
明朝初期,权力斗争是政治生活的常态。这一时期,朱元璋通过一系列的政治手段和军详情
三藩之乱是清朝初期一场规模庞大的叛乱,由明朝遗臣吴三桂、尚可喜和耿精忠领导。详情
在中国历史上,有许多杰出的人物因其卓越的成就而被后人传颂。其中,杜预是一位在详情
洪承畴降清后的命运沉浮洪承畴,明末清初著名政治军事人物,原为明朝将领,后在明详情
在中国古代历史中,宫廷政治往往充满了复杂的人际关系和权力斗争。在这样的背景下详情
在中国医学史上,有一部著作以其严谨的科学态度和卓越的医药价值蜚声中外,那就是详情
在中国古代战争中,盔甲是保护士兵的重要装备。然而,与其他国家的战士相比,秦国详情
在中国古典文学作品《水浒传》中,武松以其豪迈勇武的形象深入人心。尤其是他的酒详情
在中国古代历史上,长平之战是一场影响深远的军事冲突,它不仅改变了战国时期的国详情
在历史长河中,蒙古铁骑和八旗都是以勇猛善战而著称的军队。然而,谁才是更厉害的详情
野狼坡之战,是唐朝历史上一场具有重要意义的战役。这场战役不仅对唐朝的边疆安全详情
在历史的长河中,战争往往是国家之间力量对比、文化碰撞和利益争夺的直接体现。公详情
在中国的历史长河中,有一场战役以其激烈的战斗和深远的影响而闻名于世,那就是明详情
在中国的历史长河中,有许多重要的战役都以其独特的战术和深远的影响而被人们铭记详情
好水川之战是一场发生在1038年北宋与辽国之间的战役。这场战役发生在今天的四详情
浅水原之战是中国历史上著名的战役之一,发生在公元755年。这场战争是唐朝与安详情
雅克萨之战是中俄两国之间的一场重要战役,发生在1858年。在这场战役中,清朝详情
雅克萨之战是中俄两国之间的一场重要战役,发生在1858年。在这场战役中,清朝详情
雅克萨是一座位于俄罗斯远东地区的城市,曾经在19世纪末期成为了中俄两国之间的详情
在中国古代的神话传说中,姜子牙和鬼谷子都是极具智慧和能力的传奇人物。他们分别详情
一、背景介绍 秦始皇陵兵马俑是中国历史上最著名的考古发现之一,被誉为“世界详情
标题:秦始皇10大诡异事件 一、陵墓之谜 1. 兵马俑:秦始皇陵的兵马俑详情
虞姬,中国历史上著名的女性人物,她与项羽的爱情故事被后人传颂不衰。而刘邦,作详情
胤祥没有遭到雍正的清洗,但他在年轻时去世,这一点对于一些历史学家来说存在着一详情
满清十二帝内没有溥仪的画像,只有照片,是什么原因呢? 在满清十二帝中,没有详情
溥仪的文化水平不仅仅是初中程度,尽管他的户口本上写着“初中”,但这并不是他真详情
古人常说“不孝有三,无后为大”,而在皇权社会,皇帝不具备生育能力,可不仅仅是详情
息肌丸是什么东西?真的有这种药存在吗?息肌丸是一种有催情作用的美容香精,塞到详情
赵飞燕服用息肌丸保持美貌,息肌丸是什么东西呢?感兴趣的读者可以跟着趣历史小编详情
历史上绵亿是荣亲王永琪与侧福晋索绰罗氏所生育的王府中的第五子,但其他的孩子都详情
彼岸花,又称曼珠沙华,是一种充满神秘色彩的花卉。这种花通常盛开在秋季,其鲜红详情
在现代社会,我们依赖于各种产品来完成日常生活的各个方面。从智能手机到笔记本电详情
在我们的日常生活中,我们常常会忽视地球上的一些奇妙之处。然而,当我们从太空中详情
在生物多样性的广阔领域中,每一次新的物种发现都像是打开了一扇通向未知世界的窗详情
在这个世界上,有些物品的价值超越了我们的想象。它们不仅仅是物质的存在,更是艺详情
在世界的每一个角落,无论是热血沸腾的球场,还是电视机前的粉丝,都被一位女性棒详情
位于中国云南的九龙河瀑布群,被誉为“中国的尼亚加拉”,是中国最大的瀑布群。这详情
北仑河口,位于中国浙江省宁波市北仑区,是中国大陆海岸线的最南点。这里既有美丽详情
鸭绿江口,位于中国东北地区,是中国大陆海岸线的最北点。这里既有壮丽的山川河流详情
湖北省,位于中国中部,素有“千湖之省”的美誉。全省湖泊众多,水域面积占总面积详情
京九铁路,这条连接北京、上海、香港、澳门等9个省市的铁路干线,被誉为“中国跨详情
在中国古代,丹书铁券被视为一种至高无上的免死金牌,它代表着持有者可以免受一切详情
皮影戏,一种古老而独特的戏剧形式,它以精致的皮革制作人物和动物形象,借由幕后详情
《蔡文姬求情》是一段流传千古的动人故事,其原文充满了深情与哀婉,讲述了东汉末详情
在中国古代,护送重要物品的途中,防盗措施至关重要。以《水浒传》中的故事为例,详情
在中国古典文学中,武侠小说以其独特的文化韵味和丰富的想象力深受读者喜爱。在众详情
在中国的神话传说中,菩提祖师和如来都是佛教的重要人物。他们的身份和地位在佛教详情
在《西游记》这部古典名著中,沙僧是唐僧取经团队的重要成员之一。他曾在天庭担任详情
在金庸先生的武侠小说《天龙八部》中,人物众多,各有各的特色和能力。然而,如果详情
在中国古典小说《水浒传》中,梁山好汉们以其独特的个性和武艺闻名于世。其中,张详情
在中国古代文化中,“九天”与“九泉”是两个充满神秘色彩的概念,它们经常出现在详情
《红楼梦》作为中国古代四大名著之一,以其丰富的人物形象、错综复杂的故事情节和详情